5-8 空间距离及立体几何中的探索性问题 (精讲精练）-【三维备考】2024年高考数学大一轮复习高频考点与题型分类（新高考专用）

5-8 空间距离及立体几何中的探索性问题 1.会求空间中点到直线以及点到平面的距离. 2.以空间向量为工具，探究空间几何体中线、面的位置关系或空间角存在的条件． 5-8 空间距离及立体几何中的探索性问题 1 一、主干知识 1 考点1：点到直线的距离 1 考点2：点到平面的距离 2 二、分类题型 2 题型一 空间距离 2 题型二 立体几何中的探索性问题 3 题型三 共线定理及其应用 4 三、分层训练：课堂知识巩固 5 一、主干知识 考点1：点到直线的距离 如图，已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u，在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝＝. 考点2：点到平面的距离 如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度，因此PQ＝ 二、分类题型 题型一 点到直线距离问题 【例题精析1】 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是a，且，，E为的中点，则点E到直线的距离为（    ）    A． B． C． D． 【例题精析2】 如图，在三棱锥中，底面，．点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，． (1)求证：平面； (2)求点到直线的距离； (3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的值，若不存在，说明理由． 点到直线的距离 (1)设过点P的直线l的单位方向向量为n，A为直线l外一点，点A到直线l的距离d＝ . (2)若能求出点在直线上的射影坐标，可以直接利用两点间距离公式求距离. 【对点精练1】 （2023·全国·高三专题练习）如图，直四棱柱的底面为平行四边形，，，点P，M分别为，上靠近的三等分点． (1)求点M到直线的距离； (2)求直线PD与平面所成角的正弦值. 【对点精练2】 如图，在直三棱柱（侧棱和底面垂直的棱柱）中，平面侧面，,线段AC、A1B上分别有一点E、F且满足． （1）求证：； （2）求点到直线的距离； （3）求二面角的平面角的余弦值． 题型二 点到平面距离问题 【例题精析3】 如图，在四面体中，．点为棱上的点，且，三棱锥的体积为．    (1)求点A到平面的距离； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【例题精析4】 （2023·江苏苏州·模拟预测）在如图所示的圆锥中，已知为圆锥的顶点，为底面的圆心，其母线长为6，边长为的等边内接于圆锥底面，且.      (1)证明：平面平面； (2)若为中点，射线与底面圆周交于点，当二面角的余弦值为时，求点到平面的距离. 【例题精析5】 （2023·重庆·统考模拟预测）在多面体中，四边形是边长为4的正方形，，△ABC是正三角形．    (1)若为AB的中点，求证：直线平面； (2)若点在棱上且，求点C到平面的距离． 【例题精析6】 如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且. (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)若棱上一点，满足，求点到平面的距离. 【对点精练3】 （2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）斜三棱柱的各棱长都为，点在下底面的投影为的中点.    (1)在棱（含端点）上是否存在一点使？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由； (2)求点到平面的距离. 【对点精练4】 （2023·天津河西·统考三模）已知直三棱柱中，，，，D,E分别为的中点，F为CD的中点.    (1)求证：//平面ABC； (2)求平面CED与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 【对点精练5】 （2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知多面体，四边形是等腰梯形，，，四边形是菱形，，E，F分别为QA，BC的中点，.    (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离. 【对点精练6】 （2023·天津南开·南开中学校考模拟预测）在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且.    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 【对点精练7】 （2023·河北·统考模拟预测）如图，在直四棱柱中，底面为菱形，，，，为棱上一点，，过，，三点作平面交于点. (1)求点到平面的距离； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 题型三 平行平面间的距离问题 【例题精析7】 （2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，、、分别是、、的中点．求： (1)直线与平面的距离； (2)平面与平面的距离． 【对点精练8】 直四棱柱中，底面为正方形，边长为，侧棱，分别为的中点，分别是