5-7 向量法求空间角 (精讲精练）-【三维备考】2024年高考数学大一轮复习高频考点与题型分类（新高考专用）

5-7 向量法求空间角 1.能用向量法解决异面直线、直线与平面、平面与平面的夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量法在研究空间角问题中的作用． 5-7 向量法求空间角 1 一、主干知识 1 考点1：异面直线所成的角 1 考点2：直线与平面所成的角 2 考点3：平面与平面的夹角 2 【常用结论总结】 2 二、分类题型 4 题型一 异面直线所成的角 4 题型二 直线与平面所成的角 5 题型三 平面与平面的夹角 6 三、分层训练：课堂知识巩固 7 一、主干知识 考点1：异面直线所成的角 若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝. 考点2：直线与平面所成的角 如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝＝. 考点3：平面与平面的夹角 如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角． 若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝. 【常用结论总结】 1．线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sin θ＝|cos〈a，n〉|，不要误记为cos θ＝|cos〈a，n〉|. 2．二面角的范围是[0，π]，两个平面夹角的范围是. 二、分类题型 题型一 异面直线所成的角 【例题精析1】 （2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）直三棱柱如图所示，为棱的中点，三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为，则异面直线和所成的角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【例题精析2】 （2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）如图，四棱锥中，底面为正方形，是正三角形，，平面平面，则与所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【例题精析3】 （2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测）如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，且各棱长均相等，E是PB的中点，则异面直线AE与PC所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 用向量法求异面直线所成的角的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系； (2)用坐标表示两异面直线的方向向量； (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； (4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值． 【对点精练1】 （2023·江西南昌·校联考模拟预测）如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长均相等，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【对点精练2】 （2023·江苏·高二专题练习）“曲池”是《九章算术》记载的一种几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，面ABCD，，底面扇环所对的圆心角为，的长度是长度的2倍，，则异面直线与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【对点精练3】 （2023·全国·模拟预测）如图，在直三棱柱中，，，为的中点，为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【对点精练4】 （2023·全国·模拟预测）如图，已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，为下底面圆周上一点，满足，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 题型二 直线与平面所成的角 【例题精析4】 （2023春·江西宜春·高二上高中学校考期中）在正方体中，如图、分别是，的中点．    (1)求证：平面平面； (2)求直线与所成角的正弦值． 【例题精析5】 （2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，，点M在棱PD上，且，．    (1)求证：CD⊥平面PAD； (2)求BM与平面所成角的余弦值． 【例题精析6】 （2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）如图，在三棱柱中，平面平面，是的中点，且.      (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面所成角的余弦值. 【例题精析7】 （2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）如图，三棱台，，，平面平面，， ，与相交于点，，且∥平面．    (1)求三棱锥的体积； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 利用空间向量求线面角的解题步骤 【对点精练5】 如图，在四面体中，.    (