5-6 空间向量的概念与运算 (精讲精练）-【三维备考】2024年高考数学大一轮复习高频考点与题型分类（新高考专用）

5-6 空间向量的概念与运算 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. 2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直. 3.理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理． 5-6 空间向量的概念与运算 1 一、主干知识 1 考点1：空间向量的有关概念 1 考点2：空间向量的有关定理 2 考点3：空间向量的数量积及运算律 2 考点4：空间位置关系的向量表示 2 【常用结论总结】 3 二、分类题型 3 题型一 空间向量的线性运算 4 题型二 空间向量基本定理及其应用 4 题型三 空间向量数量积及其应用 5 题型四 向量法证明平行、垂直 6 三、分层训练：课堂知识巩固 7 一、主干知识 考点1：空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 方向相反且模相等的向量 共线向量 (或平行向量) 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 考点2：空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底． 考点3：空间向量的数量积及运算律 (1)数量积：非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)空间向量的坐标表示及其应用：设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)． 向量表示 坐标表示 数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3 共线 a＝λb (b≠0，λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2， a3＝λb3 垂直 a·b＝0 (a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 模 |a| 夹角余弦值 cos〈a，b〉＝ (a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝ 考点4：空间位置关系的向量表示 (1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量． (2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a为平面α的法向量． (3)空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2⇔n1＝λn2(λ∈R) l1⊥l2 n1⊥n2⇔n1·n2＝0 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m，l⊄α l∥α n⊥m⇔n·m＝0 l⊥α n∥m⇔n＝λm(λ∈R) 平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m⇔n＝λm(λ∈R) α⊥β n⊥m⇔n·m＝0 【常用结论总结】 1．在平面中，A，B，C三点共线的充要条件是：＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点． 2．在空间中，P，A，B，C四点共面的充要条件是：＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点． 二、分类题型 题型一 空间向量的线性运算 【例题精析1】 （2023·全国·高三专题练习）如图：正三棱锥中，分别在棱上，，且，则的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【例题精析2】 （全国·高考真题）在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（    ）． A． B． C． D． 【例题精析3】 （·山东·高考真题）已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（　　） A． B． C． D． 用基向量表示指定向量的方法 (1)结合已知向量和所求向量观察图形． (2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中． (3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来． 【对点精练1】 （2023·江苏·高二专题练习）如图，在三棱锥S—ABC中，点E，F分别是SA，BC的中点，点G在棱EF上，且满足，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【对点精练2】 （2023春·江苏常州·高二校考开学考试）已知，，，若，，三向量共面，则（    ） A．9 B．3 C． D． 【对点精练3】 （2021秋·吉林松原·高二校考期末）如图，在正方体中，，，，O为底面ABCD的中心，G为的重心，则（ ） A． B．