5-5 空间直线、平面的垂直 (精讲精练）-【三维备考】2024年高考数学大一轮复习高频考点与题型分类（新高考专用）

5-5 空间直线、平面的垂直 1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系. 2.掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单的应用． 5-5 空间直线、平面的垂直 1 一、主干知识 1 考点1：直线与平面垂直 1 2.直线和平面所成的角 2 3．二面角 2 4．平面与平面垂直 2 【常用结论总结】 3 二、分类题型 3 题型一 直线与平面垂直的判定与性质 3 题型二 平面与平面垂直的判定与性质 4 题型三 垂直关系的综合应用 5 三、分层训练：课堂知识巩固 6 一、主干知识 考点1：直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 2.直线和平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0°. (2)范围：. 3．二面角 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角； (2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角． (3)二面角的范围：[0，π]． 4．平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 【常用结论总结】 1．三垂线定理 在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直． 2．三垂线定理的逆定理 平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直． 二、分类题型 题型一 直线与平面垂直的判定与性质 【例题精析1】 （2023·北京·统考高考真题）如图，在三棱锥中，平面，．    (1)求证：平面PAB； (2)求二面角的大小． 【例题精析2】 （2023·内蒙古赤峰·赤峰二中校联考模拟预测）如图1，在五边形中，四边形为正方形，，，如图2，将沿折起，使得A至处，且．    (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值． 证明线面垂直的常用方法及关键 (1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质． (2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质． 【对点精练1】 （2023·河南·襄城高中校联考三模）如图所示，在直四棱柱中，，，且是的中点.    (1)证明：； (2)若，求四棱柱的体积. 【对点精练2】 （2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）如图，矩形所在的平面与平面垂直，且.已知.    (1)求证：； (2)求四棱锥的表面积. 题型二 平面与平面垂直的判定与性质 【例题精析3】 （2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）在如图所示的空间几何体中，与均是等边三角形，直线平面，直线平面，.    (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【例题精析4】 （2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）如图，在四棱锥中，，，，.    (1)证明：平面平面； (2)已知，，.若平面与平面夹角的余弦值为，求的值. (1)判定面面垂直的方法 ①面面垂直的定义．②面面垂直的判定定理． (2)面面垂直性质的应用 ①面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．②若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面． 【对点精练3】 （2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）如图，矩形所在的平面与平面垂直，且.已知.    (1)求证：； (2)求四棱锥的表面积. 【对点精练4】 （2023春·全国·高一专题练习）如图，在三棱锥中，，，，，平面平面． (1)求证：； (2)求的长度； (3)求二面角的大小． 题型三 垂直关系的综合应用 【例题精析5】 如图，已知ABCD－A1B1C1D1是底面为正