5-2 球的切、接问题(精讲精练-培优课）-【三维备考】2024年高考数学大一轮复习高频考点与题型分类（新高考专用）

5-2 球的切、接问题 5-2 球的切、接问题 1 二、分类题型 1 题型一 定义法 1 题型二 补形法 2 题型三 截面法 3 三、分层训练：课堂知识巩固 4 二、分类题型 题型一 定义法 【例题精析1】 已知∠ABC＝90°，PA⊥平面ABC，若PA＝AB＝BC＝1，则四面体PABC的外接球(顶点都在球面上)的体积为(　　) A．π B.π C．2π D. 【例题精析2】 在矩形ABCD中，BC＝4，M为BC的中点，将△ABM和△DCM分别沿AM，DM翻折，使点B与点C重合于点P，若∠APD＝150°，则三棱锥M－PAD的外接球的表面积为(　　) A．12π B．34π C．68π D．126π 到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可． 【对点精练1】 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为________． 【对点精练2】 已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是矩形，其中AD＝1，AB＝2，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等边三角形，则四棱锥P－ABCD的外接球表面积为(　　) A. B. C. D. 题型二 补形法 【例题精析3】 在四面体ABCD中，若AB＝CD＝，AC＝BD＝2，AD＝BC＝，则四面体ABCD的外接球的表面积为(　　) A．2π B．4π C．6π D．8π 【例题精析4】 如图，在多面体中，四边形ABCD为矩形，CE⊥平面ABCD，AB＝2，BC＝CE＝1，通过添加一个三棱锥可以将该多面体补成一个直三棱柱，那么添加的三棱锥的体积为________，补形后的直三棱柱的外接球的表面积为________． (1)补形法的解题策略 ①侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②直三棱锥补成三棱柱求解． (2)正方体与球的切、接常用结论 正方体的棱长为a，球的半径为R， ①若球为正方体的外接球，则2R＝a； ②若球为正方体的内切球，则2R＝a； ③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a. (3)长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝. 【对点精练3】 已知三棱锥P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝1，PB＝2，PC＝3，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积为(　　) A.π B．14π C．56π D.π 题型三 截面法 【例题精析5】 (2021·全国甲卷)已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O－ABC的体积为(　　) A. B. C. D. (1)与球截面有关的解题策略 ①定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； ②作截面：选准最佳角度作出截面，达到空间问题平面化的目的． (2)正四面体的外接球的半径R＝a，内切球的半径r＝a，其半径R∶r＝3∶1(a为该正四面体的棱长)． 【对点精练4】 已知圆柱的两个底面的圆周在体积为的球O的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为(　　) A．4π B．8π C．12π D．16π 【对点精练5】 在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是________． 三、分层训练：课堂知识巩固 1．（2022•天心区校级模拟）数学上定义的距离都意味着最短，如平面上两点的距离定义为连接两点的线段的长度，球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度（大圆指的是经过球心的平面截得的圆），我们把这个弧长叫做两点间的球面距离．在三棱锥中，平面，，且，．已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，则，两点的球面距离是　　 A． B． C． D． 2．（2023•邢台一模）已知圆台的上、下底面圆的半径之比为，侧面积为，在圆台的内部有一球，该球与圆台的上、下底面及母线均相切，则球的表面积为　　 A． B． C． D． 3．（2023•南平模拟）已知三棱锥，为中点，，侧面底面，则过点的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为　　 A． B． C． D．， 4．（2023•柯桥区模拟）如图，平面四边形中，，为正三角形，以为折痕将折起，使点达到点位置，且二面角的余弦值为，当三棱锥的体积取得最大值，且最大值为时，三棱锥外接球的体积为　　 A． B． C． D． 5．（2023•广东模拟）已知某圆锥的内切球（球与圆锥侧面、底面均相切）的体积为，则该圆锥的表面积的最小值为　　 A．