第45讲 排列与组合（1）（讲义+课件）-2024年新高考数学一轮复习考点点点通与精准提升（新高考通用）

第45讲 排列与组合（1） 1.分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法. 2.分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法. 3.排列与组合的概念 名称 定义 排列 从n个不同元素中取出个元素 按照一定的顺序排成一列 组合 作为一组 4.排列数与组合数 (1)排列数的定义：从n个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示. (2)组合数的定义：从n个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示. (3)公式： ①， ②， (4)性质： ①，②，③，④， 5. 分组分配问题 (1)分组问题属于“组合”问题: ①对于整体均分,不管它们的顺序如何,都是一种情况,因此分组后一定要除以; ②对于部分均分,即若有m组元素个数相等,则分组时应除以; ③对于不等分组,只需先分组,后排列. (2)分配问题属于“排列”问题: ①不同元素的“分配”问题,利用分步乘法计数原理,分两步完成,第一步是分组,第二步是发放; ②限制条件的分配问题采用分类法求解. 考点一 分类分步问题 考点二 特殊元素（位置）法 考点三 间接法 考点四 分组分配问题 考点一：分类分步问题 例1．（2023·安徽合肥·二模）某高中学校在新学期增设了“传统文化”、“数学文化”、“综合实践”、“科学技术”和“劳动技术”5门校本课程．小明和小华两位同学商量每人选报2门校本课程若两人所选的课程至多有一门相同，且小明必须选报“数学文化”课程，则两位同学不同的选课方案有（    ） A．24种 B．36种 C．48种 D．52种 【答案】B 【分析】分两类：所选课程恰有一门相同和没有相同，利用排列、组合分别求出每类的种数，再利用分类计数原理即可求出结果. 【详解】当小明和小华两位同学所选的课程恰有一门相同时： 相同的课程为“数学文化”时，有种，相同的课程不是“数学文化”时，有种， 所以小明和小华两位同学所选的课程恰有一门相同时，共有种， 当小明和小华两位同学所选的课程没有相同时，有, 所以，两位同学不同的选课方案有， 故选：B. 考点二：特殊元素（位置）法 例2．（2023·辽宁·校联考二模）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排4人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（    ）． A．14种 B．16种 C．18种 D．20种 【答案】C 【分析】可以按照元素甲分类讨论，特殊元素和特殊位置优先考虑即可得解. 【详解】按照甲是否在天和核心舱划分， ①若甲在天和核心舱，天和核心舱需要从除了甲乙之外的4人中选取3人，剩下两人去剩下两个舱位，则有种可能； ②若甲不在天和核心舱，需要从问天实验舱和梦天实验舱中挑选一个，剩下5人中选取4人进入天和核心舱即可，则有种可能； 根据分类加法计数原理，共有种可能. 故选：C. 例3．（2023·湖北·统考二模）用组成没有重复数字的四位数，其中能被15整除的有（    ） A．38个 B．40个 C．42个 D．44个 【答案】A 【分析】四位数能被15整除即能被5整除，且能被3整除. 能被5整除则个位为0或者5，能被3整除则所有位数之和为3的倍数.又千位不能为0，通过限制条件分析即可. 【详解】由题意，四位数能被15整除即四位数的个位为0或者5，且所有位数之和为3的倍数. 个位为0时，其他三位可以为1、2、3或1、3、5或2、3、4或3、4、5，故有个； 个位为5时且其它3位没有0时，可以为1、2、4，有个； 个位为5时其它3位有0时，0只能做十位或百位，其他两位为1、3或3、4，共有个； 故共有个 故选：A. 考点三：间接法 例4．（2022·河南商丘·校联考三模）已知甲、乙、丙3名志愿者参加2022年杭州亚运会的3个比赛项目的服务工作，每名志愿者只能参加1个比赛项目的服务工作，则乙、丙不在同一个比赛项目服务的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】使用间接法，若求乙、丙不在同一个比赛项目服务的安排方法，在所有的安排方法中排除乙、丙在同一个比赛项目服务的安排方法． 【详解】甲、乙、丙3名志愿者参加2022年杭州亚运会的3个比赛项目的服务工作，有种安排方法； 而乙、丙在同一个比赛项目服务，有种安排方法， 所以乙、丙不在同一个比赛项目服务的概率为． 故选：C． 考