2023年中考数学复习讲义——利用垂线段最短求最值

利用垂线段最短求最值 1.中考地位：初中几何的最值问题，主要是求一条或两条线段长度的最大（最小）值，三角形或四边形周长的最小值，对一些简单问题可以通过诸如“两点之间线段最短”“垂线段最短”等定理解决。 2.内容介绍：本专题分为3个知识模块和一份课后巩固练习，其中每个知识模块有一道例题和1-3个变式题，并且每道题目之后都标有星级难度，从1星到最高5星，在使用过程中，要灵活变通。教学过程中，要循序渐进，设问引思，可以与学生一起探索讨论，让学生亲自动手练习，最后再归纳总结。 3.利用垂线段最短求最值复习教学的注意点 （1）吃透概念、精致运算，练好“基本功”； （2）摸清“套路”，求同存异，提高“解题术”； （3）高观点助力，拓展“思维力”。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 利用垂线段最短求最值 1.一动一定型 如图，已知直线 l 外一定点 A 和直线 l 上一动点 B，求 A、B 之间距离的最小值 。通常过点 A 作直线 l 的垂线 AB，利用垂线段最短解决问题，即连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 例题★★★模型分析 问题：如图，点A为直线l外一定点，点P为直线l上一动点，试确定点P的位置，使AP的值最小． 解题思路： 一找：过点A作直线l的垂线交直线l于点P； 二证：证明AP是点A到直线l的最短距离． 请写出【模型分析】中解题思路“二证”的过程． 变式1：★★★ 1.如图，在矩形ABCD中，AC＝8，∠BAC＝30°，点P是对角线AC上一动点，连接BP． （1）线段BP的最小值为 　 　； （2）若以AP，BP为邻边作▱APBQ，连接PQ，则线段PQ的最小值为 　 　． 变式2：★★★★ 2.如图，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，经过点B且与边AC相切的动圆与AB，BC分别相交于点P，Q，则线段PQ的最小值为 　 　． 变式3：★★★★ 3.如图，Rt△ABC斜边AC的长为4，⊙C的半径为1，Rt△ABC与⊙C重合的面积为，P为AB上一动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为　　． 2.两动一定型 如图，直线AB，AC相交于点A，点M是平面内一点，点P，点N分别是AC，AB上一动点，试确定点P，N的位置，使MP+PN的值最小． 解题思路： 一找： 第一步：作点M关于AC的对称点M； 第二步：过点M′作M′N⊥AB于点N，交AC于点P； 二证：证明MP+PN的最小值为M′N． 例题★★★如图，在△ABC中，AC＝BC＝6，S△ABC＝12，点D为AB中点，点M，N分别是CD和BC上的动点，则BM+MN的最小值是 　 　． 变式1：★★★ 1.如图，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，对角线AC与BD交于点O，点E是AB的中点，点M，N分别在AC，BC上，则EM+MN的最小值为 　 　． 变式2：★★★★ 2.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是对角线BD上一点，EF⊥BC于点F，EG⊥CD于点G，连接FG，则EF+FG的最小值为 　 　． 变式3：★★★★ 3.如图，已知二次函数y＝﹣x2+x+2的图象与x轴交于A，B（点A在点B的左侧）两点，与y轴交于点C，M为直线BC上一动点，N为x轴上一动点，连接AM，MN，求AM+MN的最小值 　 　． 3.一定两动型（胡不归问题） “胡不归” 问题即点 P 在直线 l 上运动时的 “ PA＋k·PB ( 0 < k < 1 ) ” 型最值问题 . 问题：如图 ①，已知 sin∠MBN＝k，点 P 为 ∠MBN 其中一边 BM 上的一个动点，点 A 在射线 BM、BN 的同侧，连接 AP，则当 “ PA＋k·PB ” 的值最小时，点 P 的位置如何确定？ 解题思路： 过点 P 作 PQ⊥BN 于点 Q，则 k·PB＝PB·sin∠MBN＝PQ， ∴ 可将求 “ PA＋k·PB ” 的最小值转化为求 “ PA＋PQ ” 的最小值 ( 如图 ② )， ∴ 当 A、Q、P 三点共线时，PA＋PQ 的值最小 ( 如图 ③ )，此时 AQ⊥BN . 例题★★★模型分析 问题：如图，点A为直线l上一定点，点B为直线l外一定点，点P为直线l上一动点，试确定点P的位置，使kAP+BP（0＜k＜1）的值最小． 解题思路： 一找：找带有系数k的线段AP； 二构：在直线l下方构造以线段AP为斜边的直角三角形； ①在直线l上找一点P′，以定点A为顶点作角∠NAP′，使sin∠NAP'＝k； ②过点B作BE⊥AN于点E，交直线l于点P，构造Rt△APE； 三转化：化折为直，将kAP转化为PE； 四证：证明kAP+BP的最小值为BE的长． 请根据“解题思路”写出求kAP+BP最小值的完整过程． 变式1：★★★ 1.