北京市第一○一中学2022-2023学年高一下学期期末考试数学

北京一零一中 2022-2023学年度第二学期期末考试高一数学参考答案 1. B 2. C 3. A 4. A 5. B 6. C 7. C 8. D 9. B 10. C 11. 1. 12. √ 3π 3 . 13. π3 . 14. 2π3 ; [1, 3]. 15. ①③④. 16. (1)T = π；（2）[− 32 , √ 3]. (1)因为 f (x) = 2 cos2 x + sin(2x + π6 ) − 1 = cos 2x + sin 2x cos π6 + cos 2x sin π 6 = 32 cos 2x + √ 3 2 sin 2x = √ 3( √ 3 2 cos 2x + 1 2 sin 2x) = √ 3 sin(2x + π3 ), 北京一零一中 2022-2023学年度第二学期期末考试高一数学参考答案　第 1页（共 5页） 即 f (x) = √ 3 sin(2x + π3 ), 所以函数 f (x)的最小正周期 T = 2π2 = π (2)将函数 f (x)的图象向右平移 π3 个单位长度后得到 g(x) = √ 3 sin[2(x − π3 ) + π 3 ] = √ 3 sin(2x − π3 ),又 x ∈ [0, π 2 ], 所以 2x − π3 ∈ [− π 3 , 2π 3 ], 所以 sin(2x − π3 ) ∈ [− √ 3 2 , 1],则 g(x) ∈ [− 3 2 , √ 3],即 g(x)在 [0, π2 ]上的值域为 [− 3 2 , √ 3] 17. (1)证明: 连接 EA, 因为四边形 ABED为正方形, 所以 AE与 BD互相平分, 所以 BD的中点 F 也为 AE的中点, 又因为 G是 EC的中点, 所以 GF ∥ AC, 又因为 GF 1平面 ABC, AC ⊂平面 ABC, 所以 GF ∥平面 ABC. (2)因为四边形 ADEB为正方形,所以 AD ⊥ AB. 又因为平面 ADEB ⊥平面 ABC,平面 ADEB∩平面 ABC = AB, AD ⊂面 ADEB, 所以 AD ⊥平面 ABC, 又因为 BC ⊂平面 ABC,所以 AD ⊥ BC, 因为 AC = BC = √ 2 2 AB, AB = 1, 所以 AC = BC = √ 2 2 ,则有 CA 2 +CB2 = AB2,所以 AC ⊥ BC. 又因为 AD ⊥ BC, AD ∩ AC = A, AD, AC ⊂平面 ACD, 所以 BC ⊥平面 ACD, 又因为 BC ⊂平面 BCD, 所以平面 BCD ⊥平面 ACD. 18. (1)因为在 △ABC中, sin2 A + sin2 C − √ 2 sin A sin C = sin2 B, 所以由正弦定理, a2 + c2 − √ 2ac = b2, 所以 cos B = a 2 + c2 − b2 2ac = √ 2 2 , 又因为 B ∈ (0,π), 所以 B = π4 . 北京一零一中 2022-2023学年度第二学期期末考试高一数学参考答案　第 2页（共 5页） (2)选①③: 因为 sin A = 12 , A ∈ (0,π), 所以 A = π6 或 5π 6 , 若 A = 5π6 ,则 A + B > π,不能构成三角形, 所以 A = π6 . 在 △ABC中,由正弦定理, asin A = b sin B , 解得 a = √ 2 sin C = sin(A + B) = sin( π4 + π 6 ) = √ 6 + √ 2 4 , 所以 S △ABC = 12 ab sin C = 1 2 × √ 2 × 2 × √ 6 + √ 2 4 = √ 3 + 1 2 . 选②③: 因为 sin A = 12 , A ∈ (0,π), 所以 A = π6 或 5π 6 , 若 A = 5π6 ,则 A + B > π,不能构成三角形, 所以 A = π6 sin C = sin(A + B) = sin( π4 + π 6 ) = √ 6 + √ 2 4 , 在 △ABC中,由正弦定理, asin A = c sin C 解得 a = √ 2, 所以 S △ABC = 12 ac sin B = 1 2 × √ 2 × ( √ 3 + 1) × √ 2 2 = √ 3 + 1 2 19. (1)因为正四棱锥 S − ABCD中, S A = S B = S C = S D = 4, AB = 2 √ 2, 所以侧面的高 h = √ 42 − ( √ 2) 2 = √ 14, 所以正四棱锥 S − ABCD的表面积 S = 4 × 12 × 2 √ 2 × √ 14 + 2 √ 2 × 2 √ 2