2.2.4均值不等式及其应用 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

均值不等式及其应用 葫芦岛第一高级中学 数学组 1 1．算术平均值与几何平均值给定两个正数a，b，数_______称为a，b的算术平均值；数 称为a，b的几何平均值．2．均值不等式如果a，b都是正数，那么_____________，当且仅当a＝b时，等号成立． 均值不等式 几何意义 所有周长一定的矩形中,正方形　　　　的面积最大. 说明 1．在理解均值不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件． 2．运用均值不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b.　 ①多次使用均值不等式时，要注意等号能否同时成立； ②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用； ③对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，构成均值不等式模型再使用．　 注意⚠️ 1．下列结论正确的有________(填序号)．①对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab均成立；②若a>0，b>0且a≠b，则a＋b>2； 答案：①② 来个基础测试吧！！！！ 3.已知x>0,y>0,xy=24,求4x+6y的最小值,并说明此时x,y的值. 当x=6,y=4时,最小值为48. 4.已知a，b，c是两两不相等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是________． p>q 5.已知x∈(-1,3),求y=(1+x)(3-x)的最大值,以及y取得最大值时x的值. x=1时,y取得最大值4 6.已知x∈(-1,3),求y=(1+x)(3-x)的最大值,以及y取最大值时x的值. y的最大值是4,此时x是1 THANK YOU 感谢您的欣赏 16 eq \f(a＋b,2) eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab) 2．不等式(x－2y)＋eq \f(1,x－2y)≥2成立的前提条件为________． 答案：x>2y 1．对于任意a，b∈R，下列不等式一定成立的是 (　　) A.eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab) B．a＋eq \f(1,a)≥2 C.eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2 D.eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))≥2 解析： A选项，当a＜0，且b＜0时不成立；B选项，当a＜0时不成立；C选项，当a与b异号时不成立．故选D. 答案：D　 2．设a>b>0，则下列不等式中一定成立的是 (　　) A．a－b<0 B．0<eq \f(a,b)<1 C.eq \r(ab)<eq \f(a＋b,2) D．ab>a＋b 解析：∵a>b>0，由均值不等式知eq \r(ab)<eq \f(a＋b,2)一定成立． 答案：C　 3．不等式eq \f(9,x－2)＋(x－2)≥6(其中x＞2)中等号成立的条件是 (　　) A．x＝3 B．x＝－3 C．x＝5 D．x＝－5 解析：由均值不等式知等号成立的条件为eq \f(9,x－2)＝x－2，即x＝5(x＝－1舍去)． 答案：C　 4．已知x＞0，则y＝x＋eq \f(3,x)＋2的最小值是________． 解析：∵x＞0，eq \f(3,x)＞0，∴y≥2eq \r(3)＋2，当且仅当x＝eq \f(3,x)，即x＝eq \r(3)时等号成立． 答案：2eq \r(3)＋2 $