7.2.2同角三角函数关系课件-2023-2024学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

7．2.2　同角三角函数关系 1 新课程标准解读 核心素养 1.理解同角三角函数基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，eq \f(sin x,cos x)＝tan x 逻辑推理、数学运算 2.会根据同角三角函数的基本关系式解决已知一个角的某个三角函数值求其余两个三角函数值(简称“知一求二”)及简单的三角恒等式的证明问题、化简问题 逻辑推理、数学运算 因为三个三角函数值都是由角的终边与单位圆交点所唯一确定的，所以终边相同的角的三个三角函数值一定有内在联系．我们不妨讨论同一个角的三个三角函数值之间的关系．如图，设点P(x，y)是角α的终边与单位圆的交点． [问题]　你能根据图形推导出同角三角函数的关系式吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　同角三角函数的基本关系 关系式 文字表述 平方关系 sin2α＋cos2α＝1 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于___ 商数关系 eq \f(sin α,cos α)＝_______ 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的______ eq \a\vs4\al(1) tan α 正切 同角三角函数的基本关系解读 (1)注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如 sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立； (2)注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tan α＝eq \f(sin α,cos α)仅对α≠eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)成立．　　　 1．两个公式成立的条件分别是什么？ 提示：公式sin2α＋cos2α＝1对α∈R成立， 公式eq \f(sin α,cos α)＝tan α适用的条件为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)))＋kπ，k∈Z) ). 2．对任意的角α，sin22α＋cos22α＝1是否成立？ 提示：成立． 1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)对∀x∈R，sin24x＋cos24x＝1. (　　) (2)对∀x∈R，tan x＝eq \f(sin x,cos x). (　　) (3)若cos α＝0，则sin α＝1. (　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)× 4．化简：(1＋tan2α)·cos2α等于________． 答案：1 2．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，sin α＝eq \f(3,5)，则cos α等于________． 答案：－eq \f(4,5) 3．已知cos α＝－eq \f(5,13)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，则tan α＝________． 答案：eq \f(12,5) 利用同角基本关系式求值 [例1]　(链接教科书第173页例5)(1)若sin α＝－eq \f(5,13)，且α为第四象限角，则tan α的值等于 (　　) A.eq \f(12,5)　　　　　　　　　 B．－eq \f(12,5) C.eq \f(5,12) D．－eq \f(5,12) (2)已知tan α＝2，则eq \f(sin α＋cos α,sin α－cos α)＝________． [解析]　(1)因为α为第四象限的角，故cos α＝eq \r(1－sin2α)＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,13)))\s\up12(2))＝eq \f(12,13)，所以tan α＝eq \f(sin α,cos α)＝eq \f(－\f(5,13),\f(12,13))＝－eq \f(5,12). (2)因为tan α＝2，所以eq \f(sin α＋cos α,sin α－cos α)＝eq \f(tan α＋1,tan α－1)＝eq \f(2＋1,2－1)＝3. [答案]　(1)D　(2)3 [母题探究] (变设问)在本例(2)的条件下，求4sin2α－3sin αcos α－5cos2α的值． 解：因为tan α＝2，所以4sin2α－3sin αcos α－5cos2α＝eq \f(4sin2α－3sin αcos α－5cos2α,1) ＝eq \f(4sin2α－3sin αcos α－5cos2α,