7.2.1第二课时三角函数线课件-2023-2024学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

1 第二课时　三角函数线 如图，已知锐角α的终边交单位圆于点P，过点P作PM⊥OA于M，过A作单位圆的切线，交锐角α的终边于T. [问题]　试用锐角α的三角函数表示OM，MP，AT? 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 eq \a\vs4\al(负) 知识点一　有向线段 1．有向线段的概念 规定了 (即规定了起点和终点)的线段称为有向线段． 2．有向线段的数量 把规定了 的直线称为有向直线．若有向线段AB在有向直线l上或与有向直线l平行，根据有向线段AB与有向直线l的方向相同或相反，分别把它的长度添上 号或 号，这样所得的数，叫作有向线段的数量，记为AB. 方向 正方向 eq \a\vs4\al(正) 知识点二　三角函数线 有向线段 ， ， 分别叫作角α的正弦线、余弦线和正切线． eq \a\vs4\al(MP) eq \a\vs4\al(OM) eq \a\vs4\al(AT) 1．三条有向线段与x轴或y轴正方向同向的为正向线段，为正值；与x轴或y轴负方向同向的为负向线段，为负值． 2．单位圆中的三角函数线是数形结合的有效工具，借助它，不但可以解决比较大小、解三角方程、解三角不等式等问题，而且可以直观地研究同角三角函数间的基本关系． 1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)三角函数线的长度等于三角函数值． (　　) (2)三角函数线的方向表示三角函数值的正负． (　　) (3)对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线． (　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)× 2．已知角α的正弦线的长度为单位长度，那么角α的终边 (　　) A．在x轴上　　　　　 B．在y轴上 C．在直线y＝x上 D．在直线y＝－x上 答案：B 3．sin 1.5________ sin 1.2.(填“>”或“<”) 答案：> 三角函数线的作法 [例1]　作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线： (1)70°；(2)－110°；(3)eq \f(5π,4). [解]　(1)如图①，有向线段MP为70°角的正弦线，有向线段OM为70°角的余弦线，有向线段AT为70°角的正切线． (2)如图②，有向线段MP为－110°角的正弦线，有向线段OM为－110°角的余弦线，有向线段AT为－110°角的正切线． (3)在平面直角坐标系中作以坐标原点为圆心的单位圆，如图③所示，以x轴的正半轴为始边作eq \f(5π,4)的终边，与单位圆交于点P，作PM⊥x轴于点M，过单位圆与x轴正半轴的交点A作x轴的垂线，与OP的反向延长线交于点T，则有向线段MP，OM，AT分别为eq \f(5π,4)角的正弦线、余弦线、正切线． 三角函数线的作法 (1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线； (2)作正切线时，应从A(1，0)点引单位圆的切线交角的终边于一点T，即可得到正切线AT，要特别注意，当角的终边在第二或第三象限时，应将角的终边反向延长，再按上述作法来作正切线． [跟踪训练] 作出－eq \f(9π,4)的正弦线、余弦线和正切线． 解：如图所示， －eq \f(9π,4)的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT. 三角函数线的应用 角度一　利用三角函数线比较大小 [例2]　利用三角函数线比较下列各组数的大小： ①sin eq \f(2π,3)与sin eq \f(4π,5)；②tan eq \f(2π,3)与tan eq \f(4π,5). [解]　如图所示，角eq \f(2π,3)的终边与单位圆的交点为P，其反向延长线与单位圆的过点A的切线的交点为T，作PM⊥x轴，垂足为M，则sin eq \f(2π,3)＝MP，tan eq \f(2π,3)＝AT；角eq \f(4π,5)的终边与单位圆的交点为P′，其反向延长线与单位圆的过点A的切线的交点为T′，作P′M′⊥x轴，垂足为M′，则sin eq \f(4π,5)＝M′P′，tan eq \f(4π,5)＝AT′， 由图可知，|MP|＞|M′P′|，且MP与M′P′都与y轴正方向相同，所以①sineq \f(2π,3)＞sineq \f(4π,5)；|AT|＞|AT′|，且AT与AT′都与y轴正方向相反，所以②taneq \f(2π,3)＜taneq \f(4π,5). 角度二　利用三角函数线解不等式 [例3]　在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合： (1)sin α≥eq \f(\r(3),2)；(2)cos α≤－eq \f(1,2). [解]　(