第47讲 数列中的新数列问题（微专题）-2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）

第47讲 数列中的新数列问题（微专题） 题型选讲 题型一 由数列公共项构成新数列 例1、（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）已知数列的前项和为，满足，等差数列中. (1)求和的通项公式； (2)数列与的共同项由小到大排列组成新数列，求数列的前20的积. 变式1、（2022·山东日照·高三期末）数列中，已知，数列{bn}满足，点在直线上. (1)求数列的通项公式； (2)数列中满足：①；②存在使的项组成新数列{cn}，求数列{cn}所有项的和. 变式2、（2022·山东德州·高三期末）已知等差数列中，，首项，其前四项中删去某一项后（按原来的顺序）恰好是等比数列的前三项. (1)求的通项公式； (2)设中不包含的项按从小到大的顺序构成新数列，记的前n项和为，求. 题型二 由给定数列的项数构成新数列 例2、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知数列，前n项和为，且满足，，，，，等比数列中，，且，成等差数列． (1)求数列和的通项公式； (2)记为区间中的整数个数，求数列的前n项和． 变式1、（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）已知等比数列的前n项和为（b为常数）． (1)求b的值和数列的通项公式； (2)记为在区间中的项的个数，求数列的前n项和． 变式2、（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）已知数列是等差数列，，且，，成等比数列．给定，记集合的元素个数为． (1)求，的值； (2)求最小自然数n的值，使得． 题型三 由数列的插入项构成新数列 例3、（2022·山东烟台·一模）己知等差数列的前n项和为，，． (1)求的通项公式； (2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前n项和为，求的值． 变式1、(2022·青岛期初考试)已知等差数列{An}的首项A1为4，公差为6，在{An}中每相邻两项之间都插入两个数，使它们和原数列的项一起构成一个新的等差数列{an}． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若，，…，，…是从{an}中抽取的部分项按原来的顺序排列组成的一个等比数列，，令，求数列{bn}的前n项和Tn． 变式2、（2022·广东东莞·高三期末）设等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)在任意相邻两项和之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，求数列的前200项的和. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第47讲 数列中的新数列问题（微专题） 题型选讲 题型一 由数列公共项构成新数列 例1、（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）已知数列的前项和为，满足，等差数列中. (1)求和的通项公式； (2)数列与的共同项由小到大排列组成新数列，求数列的前20的积. 【答案】(1)，； (2). 【详解】（1），，当时，，两式相减得：， 即，而，解得，因此数列是首项为3，公比为3的等比数列，， 在等差数列中，由，得，解得， 则公差，， 所以和的通项公式分别为，. （2）令数列的第m项与数列的第k项相同，即， 于是， 显然是4的正整数倍，要成立， 当且仅当为正偶数，因此数列与的共同项为，即， 所以. 变式1、（2022·山东日照·高三期末）数列中，已知，数列{bn}满足，点在直线上. (1)求数列的通项公式； (2)数列中满足：①；②存在使的项组成新数列{cn}，求数列{cn}所有项的和. 【答案】(1)， (2)341 【解析】 【分析】 (1) 由与的关系式可得通项公式，再由点与直线的关系可得的通项公式； (2) 找出满足条件的共同项再求和即可. (1) ，，， ①，，，满足①， 所以是以1为首项2为公比的等比数列， 所以. 因为点在直线上， 所以，，是首项为1公差为3的等差数列，所以. (2) 且满足的中项一定是除3余1的数，即形如的数， 同时满足，所以，，，， 数列{cn}所有项的和为：. 变式2、（2022·山东德州·高三期末）已知等差数列中，，首项，其前四项中删去某一项后（按原来的顺序）恰好是等比数列的前三项. (1)求的通项公式； (2)设中不包含的项按从小到大的顺序构成新数列，记的前n项和为，求. 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）根据题意求出，从而求出通项公式；（2）先求出的前25项和，再减去前25项中含有数列中的项的和，求出答案. (1) 等差数列中，，，其前四项，，，中删去某一项后（按原来的顺序）恰好是等比数列的前三项. 根据题意，当删去数列中第三项时， 满足，解得； 删去时，满足，此方程无解，不满足题意，同理可证，删除与时，均不满足题意； 故； 所以， (2) 已知等差数列中，， 数列中的项为：4，8，16，32，64，128，256，