江苏省华罗庚中学2022-2023学年高一创新班下学期期末数学试卷

2023年春学期高一创新班期末测试数学试卷 （时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数满足，则（▲ ） A． B． C． D． 2．已知中，，，，则（▲ ） A． B． C． D． 3．已知直线，相互平行，则，之间的距离为（▲ ） A． B． C． D． 4．一个圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为，以该圆台的上底面为底面，挖去一个半球，则剩余部分几何体的体积为（▲ ） A． B． C． D． 5．若直线与圆交于，两点，当最小时，劣弧的长为（▲ ） A． B． C． D． 6．在四棱锥中，四边形为正方形，平面，且，，则四棱锥的外接球与内切球的表面积之比为（▲ ） A． B． C．3 D． 7．在如图所示的长方体中，，，，点为棱的中点，若为底面内一点，满足平面，设直线与直线所成角为，则的取值范围是（▲ ） A． B． C． D． 8．如图，已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的两条渐近线相交于，两点．若，，，则双曲线的离心率为（▲ ） A． B． C．2 D． 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．在复平面内，为坐标原点，为对应的点，则（▲ ） A．的虚部为 B． C． D． 10．已知抛物线，为坐标原点，点为直线上一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，则（▲ ） A．抛物线的准线方程为 B．直线一定过抛物线的焦点 C．线段长的最小值为 D． 11．在△ABC中，已知，且，则（▲ ） A． B． C．若，则 D． 12．如图，在四棱锥中，，，为边的中点，异面直线与所成的角为，，二面角的大小为，则（▲ ） A．四边形为直角梯形 B．在平面内，使得直线平面的点有无数个 C． D．直线与平面所成角的正弦值为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．在中，角，，的对边分别为，，，若，，则 ▲ ． 14．已知直线与曲线有两个交点，则的取值范围是 ▲ ． 15．已知长方形纸片中，，点，分别是边，上的动点，且，将长方形纸片沿进行翻折，使得，连接，，得到一个三棱柱，如图．已知三棱柱的体积是10，当三棱柱的外接球的表面积取得最小值时，的面积是 ▲ ． 16．已知，分别为椭圆的左，右焦点，为椭圆上的动点，点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为，则当最大时，的面积为 ▲ ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题10分） 已知方程． (1)若此方程表示圆，求实数m的取值范围； (2)若m的值为(1)中能取到的最大整数，则得到的圆设为圆，若圆与圆关于轴对称，设为圆上任意一点，求到直线的距离的最大值和最小值． 18．（本题12分） 记的内角，，的对边分别为，，，分别以，，为边长的三个正三角形的面积依次为，，，已知，． (1)求的面积； (2)若，求． 19．（本题12分） 如图，已知在矩形中，，，点是边的中点，与相交于点，现将沿折起，点的位置记为，此时，是的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求二面角的余弦值． 20．（本题12分） 已知离心率为的椭圆的下顶点为，过点作斜率存在的直线交椭圆于，两点，连，分别与轴交于点，，记点，的横坐标分别为，． (1)求椭圆C的标准方程； (2)试判断 是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由． 21．（本题12分） 在中，内角，，的对边分别为，，，，点是边上的一点，且． (1)求证：； (2)若，求． 22．（本题12分） 在棱长均为的正三棱柱中，为的中点．过的截面与棱，分别交于点，． (1)若为的中点，求三棱柱被截面分成上下两部分的体积比； (2)若四棱锥的体积为，求截面与底面所成二面角的正弦值； (3)设截面的面积为，面积为，面积为，当点在棱上变动时，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $1-8.DCACBBCA 9.BC 10.ACD 11.ABC 12.ABD