专题04平面向量的线性运算（3个知识点4种题型2种中考考法）-【倍速学习法】2023-2024学年九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

专题04平面向量的线性运算（3个知识点4种题型2种中考考法） 【目录】 倍速学习四种方法 【方法一】 脉络梳理法 知识点1实数与向量相乘 知识点2平行向量定理 知识点3向量的线性运算 【方法二】 实例探索法 题型1 实数与向量相乘 题型2向量的线性运算 题型3平面向量定理的应用 题型4综合应用 【方法三】 仿真实战法 【方法四】 成果评定法 【学习目标】 1.理解相似三角形的性质 2.能灵活运用相似三角形的性质解决相关问题。 【倍速学习五种方法】 【方法一】脉络梳理法 知识点1实数与向量相乘 1. 实数与向量相乘的意义： 一般地，设为正整数，为向量，我们用表示个相加；用表示个相加.又当为正整数时，表示与同向且长度为的向量. 要点诠释： 设P为一个正数，P就是将的长度进行放缩，而方向保持不变；-P也就是将的长度进行放缩，但方向相反. 2．向量数乘的定义 一般地，实数与向量的相乘所得的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下： （1）如果时，则： ①的长度：；②的方向：当时，与同方向；当时，与反方向； （2）如果时，则：，的方向任意. 实数与向量相乘，叫做向量的数乘. 要点诠释： （1）向量数乘结果是一个与已知向量平行（或共线）的向量； （2）实数与向量不能进行加减运算； （4）表示向量的数乘运算，书写时应把实数写在向量前面且省略乘号，注意不要将表示向量的箭头写在数字上面； （5）向量的数乘体现几何图形中的位置关系和数量关系. 3. 实数与向量的相乘的运算律： 设为实数，则： （1）（结合律）； （2）（向量的数乘对于实数加法的分配律）； （3） （向量的数乘对于向量加法的分配律） 知识点2平行向量定理 1.单位向量：长度为1的向量叫做单位向量. 要点诠释： 任意非零向量与它同方向的单位向量的关系：，. 2.平行向量定理：如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数，使. 要点诠释： （1）定理中，，的符号由与同向还是反向来确定. （2）定理中的“”不能去掉，因为若，必有，此时可以取任意实数，使得成立. （3）向量平行的判定定理：是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量平行. （4）向量平行的性质定理：若向量与非零向量平行，则存在一个实数，使. （5）A、B、C三点的共线若存在实数λ，使 . 知识点3向量的线性运算 1．向量的线性运算定义： 向量的加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算. 要点诠释： （1）如果没有括号，那么运算的顺序是先将实数与向量相乘，再进行向量的加减. （2）如果有括号，则先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2．向量的分解： 平面向量基本定理：如果是同一平面内两个不共线（或不平行）的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使得. 要点诠释： （1）同一平面内两个不共线（或不平行）向量叫做这一平面内所有向量的一组基底. 一组基底中，必不含有零向量． (2) 一个平面向量用一组基底表示为形式，叫做向量的分解，当相互垂直时，就称为向量的正分解. (3) 以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内的任意一个向量都可表示成这组基底的线性组合，基底不同，表示也不同． 3．用向量方法解决平面几何问题： （1）利用已知向量表示未知向量 用已知向量来表示另外一些向量，除利用向量的加、减、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解． （2）用向量方法研究平面几何的问题的“三步曲”： ①建立平面几何与向量的联系，将平面几何问题转化为向量问题. ②通过向量运算，研究几何元素的关系. ③把运算结果“翻译”成几何关系. 【方法二】实例探索法 题型1 实数与向量相乘 【例1】已知非零向量，求作 并指出它们的长度和方向. 【变式1】已知单位向量，若向量与的方向相同，且长度为4，则向量= （用表示）. 【变式2】当时，求证：(+)=+ 【例2】已知在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，点D在边BC上，设=，=，那么向量用向量、表示为（　　） A．+ B．﹣ C．﹣+ D．﹣﹣ 【变式1】如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB 与AC上，DE∥BC，，试用向量表示向量 【变式2】如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量( ) A. B. C. D. 题型2向量的线性运算 【例3】（1）3(-)-2(+2)； （2）2(2+6-3)-3(-3+4-2) 【变式1】计算：