分式不等式及其解法 讲义-2023年暑期初升高数学衔接教材

初升高之分式不等式及其解法 资料编号:202307201755 本节衔接概况 在初中阶段,我们学习过分式和分式方程（可转化为一元一次方程的分式方程）的知识,却没有接触过分式不等式的概念和问题,而分式不等式的解法却是高一新生必须掌握的知识点,课本上并没有给出讲解,为此,我们在这里补充分式不等式的概念及其解法. 本节知识要点 （1）分式不等式的概念; （2）分不等式的解法; 分式不等式 分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式. 如,,等,都是分式不等式. 分不等式的解法 解分式不等式的基本思路是把分式不等式转化为整式不等式. 解分式不等式时,由于分母的正负不能确定,所以切忌去分母.通过移项通分、合并同类项,把分式不等式化为（≥0）或（≤0）的形式,再把分式不等式转化为同解的不等式组或整式不等式进行求解.具体转化如下: （1）或,也可以转化为: ; （2）或,也可以转化为: . 对于分式不等式≥0,能否转化为≥0呢? 答案显然是不能,我们还要考虑分式有意义的条件,即分母不等于0,于是,有下面的转化方法: （3）≥0或,也可转化为: ; （4）≤0或,也可转化为: . 在求解含参分式不等式时,往往要对参数展开讨论,注意不等式的基本性质的应用. 例题讲解 例1. 解不等式. 解法一: 原不等式同解于不等式组或 解之得:或 ∴原不等式的解集为. 点评 不等式的解集在高中阶段要表示为集合或区间的形式. 解法二: 原不等式可转化为,解之得:或 ∴原不等式的解集为. 例2. 解不等式≥0. 解法一: 原不等式可转化为不等式组,解之得:或≤. ∴原不等式的解集为. 解法二: 原不等式可转化为不等式组或 解之得:或≤. ∴原不等式的解集为. 例3. 解不等式 解: 原不等式可变形为 ∴,它同解于 解之得: ∴原不等式的解集为. 例4. 解不等式. 分析:解分式不等式时不要轻易去分母,这是因为分母的正负不能确定.根据不等式的性质,在去分母时分母的正负直接影响不等号的方向,如果能够判断出分母的符号,那么我们可以去掉分母. 解: ∵ ∴对于任意实数,恒有 ∴原不等式两边同时乘以并整理得: 解之得: ∴原不等式的解集为. 例5. 解关于的不等式≥1. 分析:这是含参分式不等式,注意分类讨论. 解: 原不等式可化为≥0 ∴≤0 原不等式同解于不等式组 当时,原不等式的解集为≤; 当时,原不等式的解集为≤; 当,原不等式无解, 综上所述,当时,原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为;当,原不等式的解集为. 例6. 已知不等式的解集为,求不等式的解集. 分析:根据含参不等式的解集,可以确定参数的值,从而解决问题. 解: ∵,即的解集为 ∴ ∴,即 解之得:或 ∴不等式的解集为. 尝试练习: 解不等式:（1）; （2）; （3）≤3. 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $