6.2第二课时指数函数及其性质的应用习题课课件-2023-2024学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

1 第二课时　指数函数及其性质的应用(习题课) 指数函数单调性的应用 角度一　指数式的大小比较 [例1]　(链接教科书第136页例1)比较下列各组数的大小： (1)1.52.5和1.53.2； (2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,11))) 与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,33))) ； (3)1.50.3和0.81.2. [解]　(1)∵函数y＝1.5x在R上是增函数，2.5＜3.2， ∴1.52.5＜1.53.2. (2)指数函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,11))) eq \s\up12(x)与y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,33))) eq \s\up12(x)的图象如图， 由图知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,11))) >eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,33))) . (3)由指数函数的性质知1.50.3＞1.50＝1， 而0.81.2＜0.80＝1， ∴1.50.3＞0.81.2. 比较指数式大小的3种类型及处理方法 角度二　指数不等式 [例2]　(链接教科书第137页例2)求解下列不等式： (1)已知3x≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(－0.5)，求实数x的取值范围； (2)若a－5x＞ax＋7(a＞0且a≠1)，求x的取值范围． [解]　(1)因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(－0.5)＝30.5，所以由3x≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(－0.5)可得3x≥30.5，因为y＝3x为增函数，故x≥0.5. (2)①当0＜a＜1时，函数y＝ax是减函数，则由a－5x＞ax＋7可得－5x＜x＋7，解得x＞－eq \f(7,6). ②当a＞1时，函数y＝ax是增函数，则由a－5x＞ax＋7可得－5x＞x＋7，解得x＜－eq \f(7,6). 综上，当0＜a＜1时，x＞－eq \f(7,6)；当a＞1时，x＜－eq \f(7,6). 指数型不等式的解法 (1)指数型不等式af(x)＞ag(x)(a＞0，且a≠1)的解法：当a＞1时，f(x)＞g(x)；当0＜a＜1时，f(x)＜g(x)； (2)如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要首先进行变形将不等式两边的底数进行统一，此时常用到以下结论：1＝a0(a＞0，且a≠1)，a－x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a))) eq \s\up12(x)(a＞0，且a≠1)等． 角度三　指数型函数的单调性 [例3]　判断f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) x2－2x的单调性，并求其值域． [解]　令u＝x2－2x，则原函数变为y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(u). ∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在(1，＋∞)上递增，又∵y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(u)在(－∞，＋∞)上递减， ∴y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x2－2x在(－∞，1]上递增，在(1，＋∞)上递减． ∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，∴y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(u)，u∈[－1，＋∞)， ∴0＜eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(u)≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(－1)＝3，∴原函数的值域为(0，3]． 函数y＝af(x)(a＞0，a≠1)的单调性的处理技巧 (1)关于指数型函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a＞1还是0＜a＜1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成； (2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考查f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f(φ(x))的单调性． [跟踪训练] 1．设a＝0