6.1幂函数课件-2023-2024学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

1 6．1　幂函数 新课程标准解读 核心素养 通过具体实例，结合y＝x，y＝eq \f(1,x)，y＝x2，y＝eq \r(x)，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数 数学抽象、直观想象、 逻辑推理 研究下列3个问题： ①如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要支付p＝w元，这里p是w的函数； ②如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，这里S是a的函数； ③如果某人t s内骑车行进了1 m，那么他骑车的平均速度v＝t－1 m/s，这里v是t的函数． [问题]　上述3个函数有什么共同的结构特征？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　幂函数的概念 形如 的函数称为幂函数，其中x是 ，α是 ． y＝xα 自变量 常数 如何判断一个函数是幂函数？ 提示：(1)xα的系数为1；(2)x为自变量；(3)α为常数． 1．在函数y＝eq \f(1,x4)，y＝3x2，y＝x2＋2x，y＝1中，幂函数的个数为________． 解析：函数y＝eq \f(1,x4)＝x－4为幂函数； 函数y＝3x2中x2的系数不是1，所以它不是幂函数； 函数y＝x2＋2x不是y＝xα(α是常数)的形式，所以它不是幂函数； 函数y＝1与y＝x0＝1(x≠0)不相等，所以y＝1不是幂函数． 答案：1 2．已知f(x)＝(m－1)xm2＋2m是幂函数，则m＝________． 解析：∵函数f(x)＝(m－1)xm2＋2m是幂函数， ∴m－1＝1，即m＝2. 答案：2 3．(2021·南京高一月考)幂函数y＝xα的图象过点(2，eq \r(2))，则α＝__________． 解析：因为幂函数y＝xα的图象过点(2，eq \r(2))，所以eq \r(2)＝2α，解得α＝eq \f(1,2). 答案：eq \f(1,2) 知识点二　幂函数的图象与性质 1．五种常见幂函数的图象 [0，＋∞) (1，1) 下降 (0，＋∞) 2．幂函数y＝xα的性质 (1)当α>0时，y＝xα具有以下两条性质： ①函数的图象都过点 和 ； ②在第一象限内，函数的图象随x的增大而 ，函数在区间 上是增函数． (2)当α<0时，y＝xα具有以下两条性质： ①函数的图象都过点 ； ②在第一象限内，函数的图象随x的增大而 ，函数在区间 上是减函数． (0，0) (1，1) 上升 幂函数y＝xα(α为实数)的图象和性质的研究方法 (1)先研究幂函数的定义域，若定义域对称，判定其奇偶性； (2)研究其在第一象限内的图象，再利用函数的奇偶性研究第三或第二象限内的图象与性质； (3)不同的幂函数在第一象限内指数的变化规律：在直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的幂指数由大变小．　 1．给出下列说法： ①幂函数图象均过点(1，1)； ②幂函数的图象均在两个象限内出现； ③幂函数在第四象限内可以有图象； ④任意两个幂函数的图象最多有两个交点． 其中说法正确的有________(填序号)． 解析：根据幂函数的图象特征可知①正确，②③④错误． 答案：① 2．在下列四个图形中，y＝x 的图象大致是 (　　) 解析：函数y＝x 的定义域为(0，＋∞)，是减函数． 答案：D 幂函数的概念 [例1]　已知幂函数y＝(m2－m－1)xm2－2m－3，求此幂函数的解析式，并指出定义域． [解]　∵y＝(m2－m－1)xm2－2m－3为幂函数， ∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1. 当m＝2时，m2－2m－3＝－3，则y＝x－3，且有x≠0； 当m＝－1时，m2－2m－3＝0，则y＝x0，且有x≠0. 故所求幂函数的解析式为y＝x－3，定义域为{x|x≠0}或y＝x0，定义域为{x|x≠0}． 判断一个函数是否为幂函数的方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.　　　　 [跟踪训练] 1．下列函数中不是幂函数的是 (　　) A．y＝eq \r(x)　　　　　　　 B．y＝xeq \r(3) C．y＝22x D．y＝x－1 解析：显然C中y＝22x＝4x，不是y＝xα的形式，所以不是幂函数，而A、B、D中的α分别为eq \f(1,2)，eq \r(3)，－1，符合幂函数的结构特征，故选C. 答案：C　 2．已知f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函