5.4函数的奇偶性课件-2023-2024学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

1 5．4　函数的奇偶性 新课程标准解读 核心素养 结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义 数学抽象、直观想象、数学运算 在我们的日常生活中，可以观察到许多对称现象，如六角形的雪花晶体、建筑物和它在水中的倒影…… [问题]　(1)上述材料中提到的图形对称指的是“整个图形对称”还是“部分”对称？ (2)哪个图形是轴对称图形？哪个图形是中心对称图形？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 偶函数 y轴 原点 知识点　函数的奇偶性 设函数y＝f(x)的定义域为A. (1)如果对于任意的x∈A，都有－x∈A，并且 ，那么称函数y＝f(x)是偶函数； (2)如果对于任意的x∈A，都有－x∈A，并且 ，那么称函数y＝f(x)是奇函数； (3)如果函数f(x)是 或 ，那么我们称函数f(x)具有奇偶性； (4)根据函数奇偶性的定义可知，偶函数的图象关于 对称，奇函数的图象关于 对称． f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x) 奇函数 1．奇、偶函数定义域的特点 由于f(x)和f(－x)须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称． 2．奇、偶函数的单调性 根据奇、偶函数的图象特征，我们不难得出以下结论： (1)奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．上述结论可简记为“奇同偶异”； (2)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数． 如果定义域内存在x0，满足f(－x0)＝f(x0)，函数f(x)是偶函数吗？ 提示：不一定，必须对于定义域内的任意一个x都成立． 1．下列函数是偶函数的是________(填序号)． ①y＝x；②y＝2x2－3；③y＝eq \f(1,\r(x))；④y＝eq \f(1,2)x2，x∈[0，1]． 答案：② 2．下列图象表示的函数是奇函数的是________，是偶函数的是________．(填序号) 解析：①③关于y轴对称是偶函数，②④关于原点对称是奇函数． 答案：②④　①③ 3．下列说法正确的是________(填序号)． ①偶函数的图象一定与y轴相交； ②奇函数的图象一定通过原点； ③函数f(x)＝x2，x∈[－1，2]是偶函数； ④若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0. 答案：④ 答案：－2　0 4．若函数y＝f(x)，x∈[－1，a]是奇函数，则a＝________． 答案：1 5．若f(x)是定义在R上的奇函数，f(3)＝2，则f(－3)＝________，f(0)＝________． 解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝－2，f(0)＝0. 判断函数的奇偶性 [例1]　(链接教科书第117页例1)判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝2－|x|； (2)f(x)＝ eq \r(x2－1)＋ eq \r(1－x2)； (3)f(x)＝eq \f(x,x－1)； (4)f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1，x>0，,－x＋1，x<0.)) [解]　(1)∵函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数． (2)∵函数f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f(x)＝0，又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，∴f(x)既是奇函数又是偶函数． (3)∵函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数． (4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x>0时，－x<0， f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)； 当x<0时，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)． 综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数． [例2]　 (1)已知函数f(x)，x∈R，若对于任意实数a，b都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，求证：f(x)为奇函数； (2)若f(x)＝x2＋eq \f(a,x)(x≠0，a∈R)，判断其奇偶性． [解]　(1)证明：令a＝0，则f(b)＝f(0)＋f(b)，∴f(0)＝0. 令a＝－x，b＝x，则f(0)＝f(－x)＋f(x), ∴f(－x)＝－f(x)，又∵f(x)定义域为R关