（模块化思维提升）专题15-不定方程和不等方程的分析求解-小升初数学思维拓展数论问题专项训练（通用版）

专题15-不定方程和不等方程的分析求解 小升初数学思维拓展数论问题专项训练 （知识梳理+典题精讲+专项训练） 1、不定方程。 （1）不定方程的定义：不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些限制（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组． （2）一般是求解一次不定方程：关于ax+by=c的不定方程，（a，b）为a，b的最大公约数，如果有整数特解（x0，y0），则该方程所有整数解为：x=x0-kb÷（a，b），y=y0+ka÷（a，b），k为整数． 2、不等方程。 （1）几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集． （2）求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组． （3）解一元一次不等式组的步骤： ①分别求出不等式组中各个不等式的解集； ②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集． 【典例一】某电视台在黄金时段的2分钟广告时间内，计划播长度为15秒和30秒的两种广告．15秒的广告每播一次收费0.6万元，30秒的广告每播一次收费1万元．若要求每种广告播放不少于两次，则电视台在播放时收益最大的播放方式是（　　） A、15秒的广告播放4次，30秒的广告播放2次 B、15秒的广告播放2次，30秒的广告播放4次 C、15秒的广告播放2次，30秒的广告播放3次 D、15秒的广告播放3次，30秒的广告播放2次 【分析】本题中的等量关系：15秒×次数+30×次数=2×60，根据这个等量关系列出方程，然后再根据“要求每种广告播放不少于2次，则电视台在播放时收益最大”这个要求分析解的情况． 【解答】解：设15秒的广告播x次，30秒的广告播y次． 则15x+30y=120， 因为每种广告播放不少于2次， 所以x=2，y=3，或x=4，y=2； 当x=2，y=3时， 收益为：2×0.6+3×1=4.2（万元）； 当x=4，y=2时， 收益为4×0.6+1×2=4.4（万元）， 所以电视台在播放时收益最大的播放方式是：15秒的广告播放4次，30秒的广告播放2次． 故选：A． 【点评】解题关键是弄清题意，找到合适的等量关系，合理分析得出结论． 【典例二】某商场促销，小鱼将促销信息告诉了妈妈，小鱼妈妈假设某一商品的定价为x，并列出不等式为0.7×（2x-100）＜1000，那么小鱼告诉妈妈的信息是（　　） A、买两件等值的商品可减100元，再打3折，最后不到1000元 B、买两件等值的商品可打3折，再减100元，最后不到1000元 C、买两件等值的商品可减100元，再打7折，最后不到1000元 D、买两件等值的商品可打7折，再减100元，最后不到1000元 【分析】根据0.7（2x-100）＜1000，可以理解为买两件减100元，再打7折得出总价小于1000元． 【解答】解：由关系式可知： 0.7（2x-100）＜1000， 由2x-100，得出两件商品减100元，以及由0.7（2x-100）得出买两件打7折， 故可以理解为：买两件等值的商品可减100元，再打7折，最后不到1000元． 故选：C． 【点评】此题主要考查了由不等式联系实际问题，根据已知得出最后打7折是解题关键． 【典例三】有四个房间，每个房间里不少于4人，如果任意三个房间里的总人数不少于14人，那么这四个房间里的总人数至少有（　　）人． A、18          B、19          C、20         D、21 【分析】任意三个房间的总人数不少于14人，每个房间不少于4人，那就来推测一下，14可以分成4、5、5，任意三个房间的总人数不少于14人，那第四个房间也应该是5人，这样就可以完全的满足已知条件了，所以应该是14+5=19． 【解答】解：5×3+4=19（人）； 答：这四个房间的总人数至少有19人． 故选：B． 【点评】求最少多少人，就按每个房间的人数在限度内最少时计算． 【典例四】某旅游景点团体门票票价如下： 购票人数 100人以上 每人门票（元 30元 25元 20元 今有甲、乙两个旅行团，已知甲团人数少于50人，乙团人数不超过100人．若分别购票，两团共计应付门票费3200元，若合在一起作为一个团体购票，总计应付门票2400元． （1）请你判断乙团的人数是否也少于50人？ （2）求甲乙两个旅行团各有多少人？ 【分析】（1）首先假设乙团的人数为50人，因为甲旅行团人数少于50人，计算出各自缴费所要交的钱数，与3200元比较即可； （2）此题要分两种情况：①当甲乙两团总人数在人时，②当甲乙两团总人数在100人以上时，分别列出方程计算即可． 【解答】解（1）假设乙团的人数为50人，因为甲旅行团人数少于