（模块化思维提升）专题12-孙子定理-小升初数学思维拓展数论问题专项训练（通用版）

专题12-孙子定理 小升初数学思维拓展数论问题专项训练 （知识梳理+典题精讲+专项训练） 1、孙子定理的含义：也叫中国剩余定理．《孙子算经》中“物不知数”问题说：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”即被三除余二，被五除余三，被七除余二的最小整数．这个问题称作孙子问题，俗称韩信点兵．其正确解法叫做孙子剩余定理． 2、中国剩余定理的结论： 令任意固定整数为M，当M/A余a，M/B余b，M/C余c，M/D余d，…，M/Z余z时，这里的A，B，C，D，…，Z为除数，除数为任意自然数（如果为0，没有任何意义，如果为1，在孙子定理中没有计算和探讨的价值，所以，不包括0和1）时；余数a，b，c，d，z为自然整数时． 【典例一】某小学的六年级有一百多名学生．若按三人一行排队，则多出一人；若按五人一行排队，则多出二人；若按七人一行排队，则多出一人．该年级的人数是（ ）。 【分析】此题属于孙子定理，又叫同余定理，中国剩余定理，分组时，只要余数相同，求总数，就可以先求出分组时组员数目的最小公倍数，然后再加上余数；本题有两个余数，可分部求解． 【解答】解：因为按3人和7人一行排队都多出1人，所以总人数应该是3和7的公倍数多1人，即22、43、64、85、106、127、148、169、190、211、… 其中符合题意一百多名的只有106、127、148、169、190这五个数 同理，又因为按5人一行排队多2人，所以总人数应该是5的倍数多2，所以总人数的最后一位数字应该是2或7 最终符合题意的是127． 答：该年级的人数是127． 故答案为：127． 【点评】此题考查了孙子定理，根据已知条件，只要分组时余数相同，就求最小公倍数，然后加上余数，明白同余定理是解决此题的关键． 【典例二】甲、乙、丙三数分别是603，939，393．某数除甲数所得余数是除乙数所得余数的2倍，除乙数所得余数是除丙数所得余数的2倍．求是多少？ 【分析】丙数扩大4倍，乙数扩大2倍，那么甲、乙、丙三数余数就相同了，即，，然后两两相减求出三个差，再求出三个差的不小于4的公因数即可． 【解答】解：根据分析可得， 所以，的值为17或 经验证，只有17符合题意． 答：是17． 【点评】本题考查了剩余定理的灵活应用，关键是统一余数，然后根据因数与倍数的关系解答即可． 【典例三】求满足除以7余5，除以8余4，除以9余3的最小自然数？满足条件的从小到大第二个数是多少？ 【分析】除以7余5的数最小是，，，正好符合要求，然后加上7、8、9的最小公倍数，找到符合要求的第二个数即可． 【解答】解：除以7余5的数最小是 所以，满足除以7余5，除以8余4，除以9余3的最小自然数12． 7、8、9的最小公倍数是： 答：满足除以7余5，除以8余4，除以9余3的最小自然数12；满足条件的从小到大第二个数是516． 【点评】本题考查了孙子定理，本题是求出符合要求的最小自然数． 一．填空题 1．篮子里有鸡蛋若干个，每次取出3个，最后剩1个；每次取5个，最后剩下3个；每次取7个，最后剩下5个，则篮子里最少有　 　个鸡蛋． 2．一个数被3除余2，被4除余3，被5除余4，符合这个条件的500以内的最大数是　 　． 3．有一些气球，不到20个，平均分给3个小朋友或5个小朋友，都剩下2个，想一想，有　　个气球。 4．在小于1000的数中，被5除余4、被3除余2的最大奇数是 　　。 5．将618，516，448被某一数整除所得的余数相同（不能为，这个数最大是 　　，余数是 　　． 6．有个三位数，如果它加上1就能被5整除；如果它加上3就能被2整除；如果它加上5就能被3整除．这样的三位数最大是　　，最小是　　． 7．一个自然数了除以7余5，除以11余1，除以9余3，这个数最小是　　． 8．一个数被3除余2，被4除余2，被5除余4，符合条件的500以内的最大数是　 　． 9．一个自然数除以3余2，除以5余4，除以7余6，这个自然数最小是　 　． 10．有一筐苹果，每次从中取出3个，最后筐内还剩2个，每次从中取出5个，最后还剩3个，每次从中取出7个，最后还剩2个．这筐苹果至少有　　个． 11．自然数390，369，425被某自然数（且大于除时余数相同，那么2014被 这个自然数除的余数是 　　． 二．解答题 12．你知道吗？ 《孙子算经》记载：“今有物不知其数：三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何？”它的意思是：有一些物品，如果3个3个地数，最后剩2个；如果5个5个地数，最后剩3个；如果7个7个地数，最后剩2个。这些物品一共有多少？这个问题人们通常把它叫作“孙子问题”，西方数学家把它称为“中国剩余定理”。 你知道怎样解答这个问题吗？ 13．我国古代有一道韩信点兵的算术题：卫兵列