（模块化思维提升）专题11-完全平方数性质-小升初数学思维拓展数论问题专项训练（通用版）

专题11-完全平方数性质 小升初数学思维拓展数论问题专项训练 （知识梳理+典题精讲+专项训练） 1、完全平方数定义：完全平方即用一个整数乘以自己例如1×1，2×2，3×3等等，依此类推．若一个数能表示成某个自然数的平方的形式，则称这个数为完全平方数． 2、性质。 性质1：完全平方数的末位数只能是0，1，4，5，6，9． 性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数． 性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数． 性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1． 性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型． 性质6：平方数的形式必为下列两种之一：3k，3k+1． 性质7：不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型． 性质8：平方数的形式具有下列形式之一：16m，16m+1，16m+4，16m+9． 性质9：完全平方数的数字之和只能是0，1，4，7，9． 【典例一】：一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数．则a的最小值是（　　） A、30          B、20          C、120          D、60 【分析】一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数，所以将1080×a的乘积分解质因数后，其质数的指数一定全为偶数，据此分析解答即可． 【解答】解：因为1080×a是一个完全平方数，所以乘积分解质因数后，各质因数的指数一定全是偶数； 而1080=23×33×5的质因数分解中各质因数的指数都是奇数， 所以，a必含质因数2、3、5，因此a最小为2×3×5=30． 故选：A． 【点评】明确完全平方的数的质因数的指数为一定全为偶数是完成本题的关键． 【典例二】、均为正整数，，且正好是一个完全平方数，那么，的最小值为多少？ 【分析】因为是完全平方数，且有因数3，所以必有因数，由，推知是3的倍数；由此可知：也是一个完全平方数，然后假设，推出的值，进而得出结论． 【解答】解：是完全平方数，且有因数3，所以有因数 ，推知是3的倍数； 由此可知：也是一个完全平方数， 当，时，，即的最小值为：； 答：的最小值为14． 【点评】结合题意，把原式进行提取，变形，得出：也是一个完全平方数，是解答此题的关键． 【典例三】有这样的两位数，交换该数数码所得到的两位数与原数的和是一个完全平方数．例如，29就是这样的两位数，因为，请你找出所有这样的两位数． 【分析】设原来的两位数是，交换之后是，它们之和为；只需要等于11就可以了，据此可以列举出来． 【解答】解：设原来的两位数是，交换之后是， 它们之和为：； 所以， 因为，所以： ， ， ， ， 答：这样的两位数是56，47，38，29，65，74，92，83． 【点评】解答此题紧紧抓住完全平方数的性质，即，把两个数的和写成的形式，推出的和为11即可． 一．选择题（共5小题） 1．下面的数中，　　是完全平方数． A．8 B．9 C．6 2．有一堆草莓，比40个多，比50个少，分的份数与每份的个数同样多，这堆草莓有　　个． A．42 B．45 C．49 3．6的因数有1、2、3、6，这几个因数之间的关系是：．像这样的数叫完全数．下面的数中，　　是完全数． A．8 B．18 C．28 4．一个数与它自身的乘积称为这个数的平方，各位数字互不相同且各位数字的平方和等于49的四位数共有　　个． A．15 B．18 C．20 D．21 5．假如有一个数，唯一能整除它的平方数是1，则我们称此数为“无平方”数．例如，6是个“无平方”数而12则不是．请问在从90到100（包括90和共有　　个“无平方”数． A．4 B．5 C．6 D．7 E．8 二．填空题（共11小题） 6．某校2001年的学生人数是个完全平方数，2002年的学生人数比上一年多101人，这个数字也是一个完全平方数．该校2002年的学生人数是　 　． 7．自然数乘294，正好是另一个自然数的平方，则的最小值是　 　． 8．若，则、的最小值分别是　　，　　． 9．1、4、9完全平方数，18、27完全立方数，2、3、5、6、7、10、11、非平方也非立方数列，数列中第99个是 　　． 10．6的因数有1，2，3，6，这几个因数的关系是：，像6这样的数，叫作完全数（也叫作完美数）。你知道的完全数还有　　和　　。 11．连续1999个自然数之和恰是一个完全平方数．则这1999个连续自然数中最大的那个数的最小值是　　． 12．某煤矿要将一批煤炭运往某发电厂，如果每天运400吨，那么11天运不完，12天时间又有富余；如果每天运420吨，那么10天运不完，11天时间又有富余；如果每天运吨，恰好天运完为自然数），则　 　．