（模块化思维提升）专题10-同余定理-小升初数学思维拓展数论问题专项训练（通用版）

专题10-同余定理 小升初数学思维拓展数论问题专项训练 （知识梳理+典题精讲+专项训练） 1、所谓的同余，顾名思义，就是许多的数被一个数d去除，有相同的余数．d数学上的称谓为模．如a=6，b=1，d=5，则我们说a和b是模d同余的．因为他们都有相同的余数1。 【典例一】一个两位数，除以3余1，除以5余3，这个两位数最大是（　　） A、78         B、88          C、98          D、90 【分析】除以3余1，除以5余3，那么这个数不是3和5的倍数；由此用排除法求解． 【解答】解：除以3余1，除以5余3，那么这个数不是3和5的倍数； A、7+8=15；15是3的倍数，所以78是3的倍数，故A错误； D、5的倍数的个位数都是0或5的整数，90的个位数字是0，那么是5的倍数，故D错误； BC、而这个数的末尾应是3或8；B和C都符合，只要再看哪个数除以3余1即可． 88÷3=29…1； 98÷3=32…2； 88除以3余1，所以88符合要求． 故选：B． 【点评】本题先根据余数的特点，找出这个数的可能性，再利用排除法进行求解． 【典例二】有一整数，除300，262，205得到的余数相同，这个整数是（ ）。 【分析】这个数除300、262，得到相同的余数，所以这个数整除300-262=38，同理，这个数整除262-205=57以及300-205=95，因此，求出38、57、95的最大公约数1即是所求结论． 【解答】解：300-262=38，2 62-205=57， 300-205=95． 38，57，95的最大公约数是19．这个整数是19． 故答案为：19． 【点评】此题考查了学生最大公约数的知识，以及整除的性质． 【典例三】动物宾馆来了不足30只小动物，每4只住一间或6只住一间最后都会余3只住一间，想一想，动物宾馆来了几只小动物？ 【分析】先求出4和6的公倍数，然后加上3即可． 【解答】解：30以内，4的倍数有：4、8、12、16、20、24、28； 6的倍数有：6、12、18、24、 4和6的公倍数是：12、24 （只，（只． 答：动物宾馆来了15或27只小动物． 【点评】解答此题的关键是先求出6和4的公倍数，然后加上3进行解答即可． 一．选择题（共3小题） 1．已知69，90，125分别除以一个大于1的自然数，它们的余数相同，那么81除以的余数为　　 A．3 B．4 C．5 D．7 2．一筐桔子6个人平均分余1个，7个人平均分也余1个，这筐桔子至少有　　个． A．13 B．21 C．8 D．43 3．一箱桃子有40多个，如果把这箱桃子每8个装一盒，还剩5个；如果每10个装一盒，也剩余5个，这箱桃子有　　个。 A．40 B．45 C．48 二．填空题（共13小题） 4．有一个数，除300、262、205，都得到相同的余数，这个数是 　　． 5．，，，，、均为非零自然数，则最小是　　。 6．有一个自然数，被10除余7，被7除余4，被4除余1．这个自然数最小是　 　． 7．用某数分别去除数560、906和1252，所得余数都相同，则这个数是　　． 8．一个大于1的整数分别除167，352，574得到相同的余数，则这个整数为　　． 9．除以5，余数是　　． 10．有甲、乙、丙、丁四个数．甲数除以4商2011余2，乙数除以8商2011余4，丙数除以12商2011余6，丁数除以16商2011余8．那么甲、乙、丙、丁四个数的总和除以4的商是　 　． 11．与的和除以7的余数是　 　． 12．有几十个苹果，三个一组，余2个，四个一组，余2个，5个一组余2个，共　　个． 13．被10除余2，被11除余3，被12除余4，被13除余5的最小自然数是　 　． 14．一个数除13511，13903，14589的余数都相同，这个数最大是　　． 15．一排士兵（不超过12人）报数，1、2、1、地报数，排尾的人报1；1、2、3、1、2、地报数，排尾的人报2；1、2、3、4、1、2、3、地报数，排尾的人报3。有 　　名士兵。 16．如果33、27与21分别除以同一个数，余数都是3，那么这个除数最大的是　 　． 三．解答题 17．有一个数，它比30小，比20大，如果平均分成4份还余2，如果平均分成6份就余4，这个数是多少？ 18．有一个两位数，除以2与除以3都余1，除以4与除以5都余3，求这个数． 19．用151、197、238分别除以同一个整数，所得3个余数的和是31，这个整数是几？ 20．如果13511、13903、14589这3个自然数除以一个自然数，所得的余数相同，那么这个自然数最大是多少？ 21．用某数去除425余5，去除500少4，去除300余6，这个数最大是多少？ 22．一堆糖，第一次把它五等份后剩1块，第二次把