（模块化思维提升）专题9-约数个数与约数和定理-小升初数学思维拓展数论问题专项训练（通用版）

专题9-约数个数与约数和定理 小升初数学思维拓展数论问题专项训练 （知识梳理+典题精讲+专项训练） 1、约数个数与约数和定理。 设自然数n的质因子分解式如n=p1×p2×…×pk那么： n的约数个数公式：d（n）=（a1+1）（a2+1）…（ak+1） n的所有约数和：f（n）=（p10+p11+p12+…p1a1）（p20+p21+p22+…p2a2）…（pk0+pk1+pk2+…pkak） 【典例一】105可以分解成105=3×5×7，它的约数共有（　　） A、4个           B、6个           C、8个           D、10个 【分析】根据求一个数约数的个数的计算方法：所有相同质因数的个数加1连乘的积就是这个数约数的个数，即（1+1）×（1+1）×（1+1）=8个，然后解答可得出答案． 【解答】解：105=3×5×7， 共有（1+1）×（1+1）×（1+1）=8（个）约数， 答：它的约数共有8个． 故选：C． 【点评】此题主要考查一个合数的约数个数的计算公式：a=pα×qβ×rγ（其中a为合数，p、q、r是质数），则a的约数共有（α+1）（β+1）（γ+1）个约数． 【典例二】恰有20个因数的最小自然数是（　　） A、120          B、240          C、360         D、432 【分析】首先把20拆成几个数的乘积，利用求约数个数的方法，从最小的质因数2考虑，依次增大，找出问题的答案即可． 【解答】解：20=20=2×10=4×5=2×2×5； 四种情况下的最小自然数分别为：219、29×3、24×33、24×3×5，其中最小的是最后一个24×3×5=240． 故选：B． 【点评】此题巧用求一个数约数的方法，从最小的质因数着手，分析不同的情形，得出结论． 【典例三】给出一个自然数，的约数个数用表示，的约数和用表示． （1）求，． （2）求，最小的自然数是几？ （3）若，问一定是怎样的数？ 【分析】求约数的公式：相同质因数个数相乘． （1）比如，，有1个2，1个3，1个7，约数个数为，其约数分别为1、2、3、7、6、14、21、42，其和为96．所以，，． （2）8可以表示为、和，但要求数最小，所以，取．这样，尽量选择小的质数，即，． （3）一个数的约数个数有2个，一定是质数，因为质数的定义就是只有1和它本身两个因数． 【解答】解：（1），有1个2，1个3，1个7，约数个数为， 其约数分别为1、2、3、7、6、14、21、42，其和为96． 所以，，． （2），但要求数最小，所以，取． 这样，尽量选择小的数， 即， 所以． （3），即一个数的约数个数有2个，一定是质数，因为质数的定义就是只有1和它本身两个因数．所以一定是质数． 【点评】掌握求约数公式，是解答此题的关键，同时还要知道知识点：一个数的约数个数有2个，一定是质数． 一．选择题（共8小题） 1．已知，那么的因数一共有　　个。 A．4 B．6 C．8 D．9 2．24的约数一共有　　个． A．10 B．8 C．6 D．4 3．类似6、28、496、的数称之为完美数，因为这些数的所有因数的和正好等于它本身的2倍，如．则完美数496有　　个因数． A．8 B．9 C．10 D．12 4．105可以分解成，它的约数共有　　 A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 5．将数分解质因数是，那么因数有　　个． A．3 B．5 C．6 D．8 6．一个两位数是由3个不同的质数相乘得到的，它的因数共有　　个． A．8 B．6 C．5 D．3 7．在中只有3个约数的数有　　个． A．18 B．19 C．20 D．21 8．，，是各不同的自然数，而且除以，那么的约数至少有　　个． A．6 B．2 C．3 D．4 二．填空题（共8小题） 9．某自然数是3和4的倍数，包括1和本身在内共有10个约数，那么这自然数是 　　。 10．某自然数有10个不同的约数，但质约数只有2和3，满足条件的自然数最大是 　　。 11．表示自然数的约数的个数，例如，4有1，2，4三个约数，可以表示成，计算：　　． 12．要将30个苹果放入篮子里．如果每次放入的个数相同，在若干次后能够刚好放完，一共有　　种拿法． 13．120的所有约数的倒数相加的和是　 　． 14．已知甲，乙，甲、乙两数的公因数共有　　个． 15．把一个自然数的所有的约数都写出来，然后在这些约数任意找两个相加，这样就可以得到若干个不同的和，其中最小的和是4，最大的和是140．那么，这个自然数是　　． 16．一个自然数，它有6个因数，从小到大依次是，，，，，．已知，那么　　． 三．解答题 17．一个数有4个因数，其中一个因数是最小的四位质数，则这个数最小是多少？ 18．在100至15