（模块化思维提升）专题8-带余除法-小升初数学思维拓展数论问题专项训练（通用版）

专题8-带余除法 小升初数学思维拓展数论问题专项训练 （知识梳理+典题精讲+专项训练） 1、如：16÷3=5…1，即16=5×3+1，此时，被除数除以除数出现了余数，我们称之为带余数的除法。 2、一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0），那么一定有另外两个整数q和r，0≤r＜b，使得a=q×b+r。 当r=0时，我们称a能被b整除 当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）． 3、对任意整数a，b且b≠0，存在唯一的数对q，r，使a=bq+r，其中0≤r＜|b|．这个事实称为带余除法定理，是整除理论的基础．若c|a，c|b，则称c是a，b的公因数．若d是a，b的公因数，d≥0，且d可被a，b的任意公因数整除，则称d是a，b的最大公因数．若a，b的最大公因数等于1，则称a，b互素．累次利用带余除法可以求出a，b的最大公因数，这种方法常称为辗转相除法．又称欧几里得算法。 【典例一】所有被4除余1的两位数的和为（　　） A、1200         B、1208         C、1210         D、1224         E、1229 【分析】本题中，由整除的意义可知，除以4后余1的最小两位数是：12+1=13．除以4后余1的最大两位数是：96+1=97．由此我们想除以4后余1的两位数一共有多少个？即所有除以4后余1的数组成的数列：13+17+21+…+97的项数有多少？由题意知数列的公差是4，那么计算项数得：（97-13）÷4+1=22．然后利用公式求它们的和就行了． 【解答】解：除以4后余1的最小两位数是：12+1=13， 除以4后余1的最大两位数是：96+1=97， 那么除以4后余1的两位数一共有：（97-13）÷4+1=22（个）， 所有除以4后余1的两位数的和为： 13+17+21+…+97 =（13+97）×22÷2 =110×11 =1210． 答：一切除以4后余1的两位数的和是1210． 故选：C． 【点评】本题考查余数的性质与等差数列求和．本题的解题关键是由除以4余1这一特点，想到满足条件的最小的两位数是13，最大的两位数是97，是一个公差为4的等差数列． 【典例二】一本书如果每天读80页，那么4天读不完，5天又有余；如果每天读90页，那么3天读不完，4天又有余；如果每天读N页，恰好N（N是自然数）天读完，这本书是（ ）页． 【分析】设页数为x，①由“一本书如果每天读80页，那么4天读不完，5天又有余”得320＜x＜400；②由“如果每天读90页，那么3天读不完，4天又有余”得270＜x＜360；③由①②得320＜x＜360．满足上述条件的只有n=18.320＜18×18=324＜36． 【解答】解：设页数为x，①320＜x＜400； ②270＜x＜360； ③由①②得：320＜x＜360， 满足上述条件的只有n=18． 320＜18×18=324＜360． 故答案为：324． 【点评】此题考查了带余除法的知识，以及分析问题的能力． 【典例三】对于两个自然数和，较大数除以较小数，余数记为△，5△，6△，若13△且为两位数，求． 【分析】根据题意，可知两个不等的自然数和，较大的数除以较小的数，余数记为△，这是一种新的计数方法，再根据我们学习的有关有余数的除法就可以求出结果． 【解答】解：因为，所以5△； 因为，所以6△； 若13△，我们不知道13和哪个大（根据题意可知，，即哪个作除数，哪个作被除数，这样就要分两种情况讨论． （1）当，这时除13余2，，可知整除11，是两位数，则． （2），这时13除余2，这说明是13的倍数加2，所以可以为： ，，，，，，； 因此13△有8个解，，15，28，41，54，67，80，93． 【点评】解答这类问题的关键是理解新运算所表示的意义，严格按规定的计算法则代入计数，把定义新符号运算转化为熟悉的四则运算． 一．选择题（共6小题） 1．小华在计算除法时，把除数87写成78，结果得到商是64，还余54，正确的商应该是　　 A．54 B．58 C．64 D．87 2．某民兵连在操场上列队，只知道人数在90到110人之间，且这些人排成3列无余数，排成5列不足2人，排成7列不足4人，则共有民兵　　人． A．108 B．102 C．107 D．109 3．有四个自然数、、、，它们的和不超过400，并且除以商是5余5，除以商是6余6，除以商是7余7。那么，这四个自然数的和是　　 A．216 B．108 C．314 D．348 4．有100条线段，长度都是整数，最短线段为7，任意三条线段都不能组成三角形，当他们总和最小时，总和除以3的余数是　　 A．0 B．1 C．2 D．不能确定 5．某为自然数，被10除余数是9，被9除余数