（模块化思维提升）专题7-数的整除特征-小升初数学思维拓展数论问题专项训练（通用版）

专题7-数的整除特征 小升初数学思维拓展数论问题专项训练 （知识梳理+典题精讲+专项训练） 1、整除是整数问题中一个重要的基本概念．如果整数a除以自然数b，商是整数且余数为0，我们就说a能被b整除，或b能整除a，或b整除a，记作b丨a．此时，b是a的一个因数（约数），a是b的倍数。 2、数的整除特征。 （1）能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数是偶数，那么它必能被2整除． （2）能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5，那么它必能被5整除． （3）能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各位数字之和能被3（或9）整除，那么它必能被3（或9）整除． （4）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除，那么它必能被4（或25）整除． （5）能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除，那么它必能被8（或125）整除． （6）能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除． 【典例一】下列4个数都是六位数，A是大于0小于10的自然数，B是0，一定能同时被2、3、5整除的数是（　　） A、AAABAA             B、ABABAB             C、ABBABB             D、ABBABA 【分析】这个六数个位上的数字是0，能被2和5整除，不管A是比10小的哪个自然数，A+A+A的和一定是3的倍数，所以ABABAB一定能被3整除 【解答】解：B=0， ABABAB能被2和5整除， A+A+A的和一定是3的倍数， ABABAB也一定能被3整除， 故选：B． 【点评】此题主要考查能被2、3、5整除的数的特征：一个数个位上是0或5，这个数就能被5整除；个位是0、2、4、6、8的数能倍2整除；一个数各数位上的数字之和是3的倍数，这个数就能被3整除． 【典例二】有一个四位数3AA1能被9整除，A是（ ）。 【分析】已知四位数3AA1能被9整除，那么它的数字和（3+A+A+1）一定是9的倍数然后再根据题意进一步解答即可．因为A是一个数字，只能是0、1、2、3、…、9中的某一个整数，最大值只能是9．若A=9，那么3+A+A+1=22，22＜27，所以3AA1的各位数字和只能是9的1倍或2倍，即9或18． 【解答】解：根据题意可得： 四位数3AA1，它能被9整除，那么它的数字和（3+A+A+1）一定是9的倍数； 因为A是一个数字，只能是0、1、2、3、…、9中的某一个整数，最大值只能是9；若A=9，那么3+A+A+1=3+9+9+1=22，22＜27，所以，3AA1的各位数字和只能是9的1倍或2倍，即9或18； 当3+A+A+1=9时，A=2.5，不合题意； 当3+A+A+1=18时，A=7，符合题意； 所以，A代表7，这个四位数是3771． 答：A是7， 故答案为：7． 【点评】本题主要考查能被9整除数的特征，即一个数能被9整除，那么这个数的数字和一定是9的倍数，然后在进一步解答即可． 【典例三】如果六位数2009□□能被128整除，那么它最后的两位数是什么？ 【分析】根据除法的计算方法的应用，结合题意用2009□□除以128，用被除数的前三位200除以128商1，余数72，落下被除数的9，用729除以128，商5，余数是89，落下被除数的□，用89□除以128，商6，余数最大是127，所以□最大填5，再落下□，用127□除以128，商最大是9，128乘9等于1152，不能整除，所以用89□除以128，商7，128乘7等于896 所以□填6，最后□填0，能被128整除，解答． 【解答】解：根据整除的意义， ， 所以200960能被128整除，它最后的两位数是6，0． 【点评】此题考查的是整除的意义． 一．选择题（共8小题） 1．某班有一个小图书馆，共有300多本图书，从1开始，图书按自然数的顺序编号，即1，2，，小光看了这图书馆里都被2，3和8整除的书号，共16本，这个图书馆里至少有　　本图书． A．381 B．382 C．383 D．384 2．下面是用字母表示的三种形式的六位数、、表示三个数字，且不等于，形如　　的六位数，一定能被3整除． A． B． C． 3．下面四个数都是六位数，是的自然数，是0，一定能被3和5整除的数是　　 A． B． C． D． 4．从1到2000共2000个整数里面，是3的倍数但不是5的倍数的数有　　个 A．532 B．533 C．534 D．535 5．请你在121这个数后面补上3个数字组成一个6位数，使这个数能被3、4、5整除，并且要求这个数值尽量小，这个数是　　 A．1212000 B．121080 C．121110