（模块化思维提升）专题5-整数的裂项和拆分-小升初数学思维拓展数论问题专项训练（通用版）

专题5-整数的裂项和拆分 小升初数学思维拓展数论问题专项训练 （知识梳理+典题精讲+专项训练） 1、整数的列项与分拆：就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，就是自然数的一个分拆．整数的分拆是古老而又有趣的问题，其中最著名的是哥德巴赫猜想．在国内外数学竞赛中，整数分拆的问题常常以各种形式出现，如，存在性问题、计数问题、最优化问题等． 【典例一】电视台要播放一部30集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播几天？ 【分析】由于希望播出的天数尽可能地多，所以，在每天播出的集数互不相等的条件下，每天播放的集数应尽可能地少． 【解答】解：因为1+2+3+4+5+6+7=28．如果各天播出的集数分别为1，2，3，4，5，6，7时，那么七天共可播出28集，还剩2集未播出．由于已有过一天播出2集的情形，因此，这余下的2集不能再单独于一天播出，而只好把它们分到以前的日子，通过改动某一天或某二天播出的集数，来解决这个问题．例如，各天播出的集数安排为1，2，3，4，5，7，8或1，2，3，4，5，6，9都可以．所以最多可以播7天． 【点评】本题实际上是问，把正整数30分拆成互不相等的正整数之和时，最多能写成几项之和？也可以问，把一个正整数拆成若干个整数之和时，有多少种分拆的办法？例如：5=1+1+1+1+1=1+1+1+2=1+2+2=1+1+3=2+3=1+4，共有6种分拆法（不计分成的整数相加的顺序）． 【典例二】有三个箱子，如果两箱两箱的称它们的重量，分别是15千克、23千克、26千克，那么其中最重的箱子重（　　）千克． A、18            B、9             C、15            D、17 【分析】根据题意明白，三箱两两称重，三次重量，实际是各称了两次，求总重量：（15+23+26）÷2=32，再去掉每次称两箱的重量就是余下那箱的重量，都算出来后，找最重的即可． 【解答】解：三箱总重量：（15+23+26）÷2=32（千克）， 第一次两箱称余下那箱重：32-15=17（千克）， 第二次两箱称余下那箱重：32-23=9（千克）， 第三次两箱称余下那箱重：32-26=6（千克）， 答：最重的箱子重17千克． 故选：D． 【点评】此题关键是明白两两称实际上每一箱都称了两次，根据三次重量和除以2就能求出三箱总重量，然后根据题意求出即可． 【典例三】一次数学考试的满分是100分，6位同学在这次考试中平均得分是91分，这6位同学的得分互不相同，其中有一位同学仅得65分．则得分排在第三名的同学至少得（ ）分． 【分析】要使第三名同学的分数最少，则让其他同学的分数最多即可，根据题意，令第一名是100分，第二名是99分，第六名是65分；然后求出六位同学的总分91乘6，减去100、99、65，最后除以3得94，让第四位、第五位同学分数尽量大94、93，则第三名同学至少得95分，即可得解． 【解答】解：91×6=546， 546-100-99-65=282， 282÷3=94， 答：得分排在第三名的同学至少得95分； 故答案为：95． 【点评】明白要使第三名分数最小，则其他五人的分数必须最大是解决此题的关键． 一．选择题（共8小题） 1．把2012拆成若干个自然数的和，要使这些数的自然数乘积尽量大，那么下面　　拆法正确． A．拆成 671个3 B．拆成671个3和一个2 C．拆成 670个3 D．拆成670个3和一个2 2．小亮是一名中学生，他代表学校参加了全市数学竞赛，他说：“我的名次、得分和年龄的乘积是4074。”他的名次、得分和年龄之和是　　 A．97 B．98 C．114 D．115 3．下面4个数中，恰有一个数是两个相邻整数的乘积，这个数是　　 A．5096303 B．5096304 C．5096305 D．5096306 4．在长度分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9的线段各1条，从中选出若干条组成正方形，那么不同的选法有　　种． A．6 B．7 C．8 D．9 5．5人的体重之和是423斤，他们的体重都是整数，并且各不相同，则体重最轻的人最重可能重　　 A．80斤 B．82斤 C．84斤 D．86斤 6．下面4个数中，恰有一个数是两个相邻整数的乘积．这个数是　　 A．5096303 B．5096304 C．5096305 D．5096306 7．用一架天平和11个重量均为整数克的砝码，可以直接称出的所有整数克数的重量（称时砝码只能放在天平的一边），在这些砝码中，最重的一个为　　 A．1024 B．979 C．201 D．256 8．运输公司用甲、乙两辆货车运送10吨货物，甲货车载质量是2吨，乙货车载质量是3吨。如果每次运送货物的车都载满，有　　种不