四川省成都市树德中学2023届高三三诊模拟数学（理）试题

成都树德中学高2020级高三下4月三诊模拟测试数学试题（理科） 一、单选题（每小题仅有一个正确选项，选对得5分，共60分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 1 3. 如图，一组数据，的平均数为5，方差为，去除，这两个数据后，平均数为，方差为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知单位向量，满足，若向量，则（ ） A. B. C. D. 5. 世界数学三大猜想：“费马猜想”、“四色猜想”、“哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”和“费马猜想”已经分别在1976年和1994年荣升为“四色定理”和“费马大定理”．281年过去了，哥德巴赫猜想仍未解决，目前最好的成果“1＋2”由我国数学家陈景润在1966年取得．哥德巴赫猜想描述为：任何不小于4的偶数，都可以写成两个质数之和．在不超过17的质数中，随机选取两个不同的数，其和为奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 函数在上的图像大致为（ ） A. B. C D. 7. 如图，网格纸上绘制的是一个几何体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（ ） A. B. 1 C. D. 4 8. 将函数图像上各点横坐标缩短到原来，再向左平移个单位得到曲线C．若曲线C的图像关于轴对称，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 两千多年前，古希腊数学家阿波罗尼斯采用切割圆锥方法研究圆锥曲线，他用平行于圆锥的轴的平面截取圆锥得到的曲线叫做“超曲线”，即双曲线的一支，已知圆锥PQ的轴截面为等边三角形，平面，平面截圆锥侧面所得曲线记为C，则曲线C所在双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 10. 函数，定义域为，有唯一极值点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 11. 已知三棱锥四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 12. 已知数列，，，，，，是数列的前项和，则（ ） A. 656 B. 660 C. 672 D. 674 二、填空题（每小题5分，共20分） 13. 若，满足，则的最小值是________． 14. 已知，则的展开式中项的系数为_________. 15. 过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，设抛物线的准线与轴的交点为，当时，___________. 16. 已知函数，定义域均为，且，，，，则_______. 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） （一）必考题，第17～21题为必做题，每个试题考生都必须作答，共60分. 17. 在锐角三角形中，角的对边分别为，为在方向上的投影向量，且满足. （1）求的值； （2）若，求的周长. 18. 某农科所对冬季大棚内的昼夜温差与某反季节大豆新品种发芽率之间的关系进行分析研究，记录了2023年1月1日至1月12日大棚内的昼夜温差与每天每100颗种子的发芽数，得到如下资料： 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 9日 10日 11日 12日 温差/℃ 10 11 13 12 8 10 9 11 13 10 12 9 发芽数/颗 21 24 28 28 15 22 17 22 30 18 27 18 ；；； 已知发芽数与温差之间线性相关，该农科所确定的研究方案是：先从这12组数据中选取2组，用剩下的10组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验. （1）求选取的2组数据恰好是相邻2天的数据的概率； （2）若选取的是1日与6日的两组数据，试根据除这两日之外的其他数据，求出关于的线性回归方程；（精确到1） （3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选取的检验数据的误差均不超过2颗，则认为求得的线性回归方程是可靠的，试问：（2）中所得的线性回归方程是否可靠. 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 19. 如图，在四边形ABCP中，△ABC为边长为的正三角形，CP＝CA，将△ACP沿AC翻折，使点P到达的位置，若平面平面ABC，且． （1）求线段的长； （2）设M在线段上，且满足，求二面角的余弦值． 20. 已知椭圆，过点且与轴平行的直线与椭圆恰有一个公共点，过点且与轴平行的直线被椭圆截得的线段长为. （1）求椭圆的标准方程； （2）设过点的动直线与椭圆交于两点，为轴上的一点，设直线和的斜率分别为和，若为定值，求点的坐标. 21. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）