1.1.2 菱形的性质与判定（课件）-2023-2024学年九年级数学上册同步精品课件（北师大版）

第一章 特殊平行四边形 第1节 菱形的性质与判定(二) 1.掌握菱形的判定定理 2.经历菱形判定定理的探究过程（重点） 3.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算（难点） 情境&导入 思考：剪下来的是什么图形？ 情境&导入 　　如图，取两根长度不等的细木棒，让两个木棒的中点重合并固定在一起，用笔和直尺画出木棒四个端点的连线。我们知道，这样得到的四边形是一个平行四边形．若转动其中一个木棒，重复上面的做法， 当两个木棒之间的夹角等于90° 时，得到的图形是什么图形呢？ 根据菱形的定义,可得菱形的第一个判定的方法： AB=AD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形. 数学语言 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. A B C D 思考 还有其他的判定方法吗？ 探究一 用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.转动木条,这个四边形什么时候变成菱形? 猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. A B C O D 已知：右图中四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD相交于点O ,AC⊥BD. 求证：□ABCD是菱形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形. ∴OA=OC. 又∵AC⊥BD, ∴BD是线段AC的垂直平分线.∴BA=BC. ∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）. AC⊥BD 几何语言描述：∵在□ABCD中，AC⊥BD, ∴ □ABCD是菱形. A B C D 菱形ABCD A B C D □ABCD 菱形的判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 例1.如图，在 ABCD中，AC,BD交于点O，AB=13，AC=24，DB=10，则四边形ABCD是 (　) A．一般的平行四边形 B．长方形 C．菱形 D．不能确定 C □ 探究二 先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以B、D为圆心，AB为半径画弧，得到两弧的交点C，连接BC、CD，就得到了一个四边形，猜一猜，这是什么四边形？说出你的理由。 猜想：有四条边相等的四边形是菱形。 A B C D O 证明：∵AB=BC=CD=AD; ∴AB=CD , BC=AD. ∴四边形ABCD是平行四边形（平行四边形的判定）. 又∵AB=BC,∴四边形ABCD是菱形 (菱形的定义). A B C D 已知：右图中四边形ABCD,AB=BC=CD=AD. 求证：四边形ABCD是菱形. 定理：四边相等的四边形是菱形. AB=BC=CD=AD 几何语言描述： ∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD， ∴四边形 ABCD是菱形. A B C D 菱形ABCD 菱形的判定定理：四条边都相等的四边形是菱形 四边形ABCD A B C D 2 例2.已知：如图,在△ABC, AD是角平分线,点E、F分别在AB、AD上,且AE=AC,EF=ED.求证：四边形CDEF是菱形. A C B E D F 证明：∵∠1=∠2,又∵AE=AC, ∴△ACD≌ △AED (SAS). 同理△ACF≌△AEF(SAS) . ∴CD=ED, CF=EF.又∵EF=ED, ∴四边形ABCD是菱形（四边相等的四边形是菱形）. 1 例3.如图,□ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F,求证：四边形AFCE是菱形． A B C D E F O 1 2 证明: ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AE∥FC，∴∠1=∠2. ∵EF垂直平分AC，∴AO=OC . 又∠AOE =∠COF， ∴△AOE≌△COF，∴EO =FO. ∴四边形AFCE是平行四边形. 又∵EF⊥AC∴ 四边形AFCE是菱形. 你能用折纸等办法得到一个菱形吗？动手试一试！ 先将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，将纸展开，就得到了一个菱形。 你能说说小颖这样做的道理吗？ 练习&巩固 1.下列命题中正确的是（ ） A.一组邻边相等的四边形是菱形 B.三条边相等的四边形是菱形 C.四条边相等的四边形是菱形 D.四个角相等的四边形是菱形 练习&巩固 2.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（ ） A．AB=BC B．AC=BC C．∠B=60° D．∠ACB=60° 练习&巩固 A B C D O E 3.如图，已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB=BD,DE∥AC,CE ∥BD. 求证：四边形OCED是菱形. 1.菱形的判定方法： (1)(定义法)：一组邻边相等的平行四边形是菱