1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 精讲（5大题型）-【题型分类归纳】2023-2024学年高二数学同步讲与练（人教A版2019选择性必修第一册）

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 重点：会用空间向量方法求立体几何中的距离问题、夹角问题。 难点：理解距离和夹角的向量表示及求解方法 一、点到直线的距离 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为 (如图)． 二、点到平面的距离 已知平面的法向量为 , 是平面内的任一点，是平面外一点,过点作则平面的垂线，交平面于点,则点到平面的距离为（如图）. 注意：线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解。 直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。 三、异面直线所成角 若分别为直线的方向向量，为直线的夹角，则. 四、直线与平面所成角 1、夹角定义：设是直线的方向向量,是平面的法向量,直线与平面的夹角为.则. 2、利用空间向量求异面直线所成角的步骤： （1）建立适当的空间直角坐标系， （2）求出两条异面直线的方向向量的坐标， （3）利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角， （4）结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角。 3、求两条异面直线所成角的两个关注点 （1）余弦值非负：两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值，而对应的方向向量的夹角可能为钝角。 （2）范围：异面直线所成角的范围是（0，），故两直线方向向量夹角的余弦值为负时，应取其绝对值。 五、平面与平面的夹角 平面与平面的夹角：两个平面相交形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于的二面角称为这两个平面的夹角. 若分别为平面的法向量，为平面的夹角，则. 题型一 求点到直线的距离 【例1】（2022秋·陕西西安·高二校考阶段练习）空间中有三点，，，则点P到直线MN的距离为（ ） A． B． C．3 D． 【变式1-1】（2022秋·福建泉州·高二校考阶段练习）直线l的方向向量为，且l过点，则点到l的距离为 . 【变式1-2】（2023秋·湖北·高二统考期末）在棱长为2的正方体中，点E为棱的中点，则点到直线BE的距离为（ ） A．3 B． C． D． 【变式1-3】（2023·江苏·高二专题练习）已知四棱锥的底面为正方形，平面，，点是的中点，则点到直线的距离是（ ） A． B． C． D． 题型二 求点到平面的距离 【例2】（2022秋·北京·高二北京市师达中学校考阶段练习）已知，则原点到平面的距离是（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023春·福建龙岩·高二福建省龙岩第一中学校考阶段练习）在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面为的中点，点在平面内，且平面，则点到面的距离为（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023春·四川凉山·高二校考阶段练习）如图所示，在直四棱柱中，底面为平行四边形，，，点在上，且，则点到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2022秋·云南楚雄·高二校考阶段练习）在如图所示的五面体中，平面是边长为2的正方形，平面，，且，为的中点，为中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． 题型三 求异面直线所成角 【例3】（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）在正四棱锥中，，M为棱PC的中点，则异面直线AC，BM所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2023春·陕西汉中·高二统考期末）如图，在正方体中，为体对角线上一点，且，则异面直线和所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2023秋·广东深圳·高二统考期末）在三棱锥中，平面，，，则直线与夹角的余弦值是（ ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2021秋·高二校考单元测试）如图，四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点在线段上，，分别为，的中点．设异面直线与所成的角为，则的最大值为 ． 题型四 求直线与平面所成角 【例4】（2022秋·高二课时练习）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，F为B1C1上靠近点B1的四等分点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2023春·江苏宿迁·高二统考