1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题导学案-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

厚德载物 自强不息 正德厚生 精进博学 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题（导学案） 1.用向量语言表示点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面的距离问题； 2.理解两异面直线所成角与它们的方向向量之间的关系,会用向量方法求两异面直线、直线与平面、二面角的大小。 重点：理解运用向量方法求空间距离的原理，向量方法求空间角的原理； 难点：掌握运用空间向量求空间距离、空间角的方法。 一、自主导学 一、点到直线的距离、两条平行直线之间的距离 1.点到直线的距离 已知直线l的单位方向向量为μ,A是直线l上的定点,P是直线l外一点.设=a,则向量在直线l上的投影向量=(a·μ)μ.点P到直线l的距离为PQ= ； 2.两条平行直线之间的距离（点到平面的距离） 求两条平行直线l,m之间的距离,可在其中一条直线l上任取一点P,则两条平行直线间的距离就等于点P到直线m的距离. 点睛：点到直线的距离,即点到直线的垂线段的长度,由于直线与直线外一点确定一个平面,所以空间点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离问题. （二）、点到平面的距离、两个平行平面之间的距离 点到平面的距离 已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,则点P到平面α的距离为PQ= . 点睛：1.实质上,n是直线l的方向向量,点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度. 2.如果一条直线l与一个平面α平行,可在直线l上任取一点P,将线面距离转化为点P到平面α的距离求解. 3.两个平行平面之间的距离 如果两个平面α,β互相平行,在其中一个平面α内任取一点P,可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解. 二、空间中直线、平面所成角 1、利用向量方法求两异面直线所成角：若两异面直线l1,l2所成角为θ,它们的方向向量分别为a,b,则有 cos θ= ； 特别提醒：不要将两异面直线所成的角与其方向向量的夹角等同起来,因为两异面直线所成角的范围是,而两个向量夹角的范围是[0,π],事实上,两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系. 2.利用向量方法求直线与平面所成角：若直线l与平面α所成的角为θ,直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,则有sin θ= 特别提醒：直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角. 3.利用向量方法求二面角 (1)若二面角α-l-β的平面角的大小为θ,其两个面α,β的法向量分别为n1,n2, 则|cos θ|=|cos<n1,n2>|= (2)二面角的大小还可以转化为两直线方向向量的夹角.在二面角α-l-β的两个半平面α,β内,各取一条与棱l垂直的直线,则当直线的方向向量的起点在棱上时,两个方向向量的夹角即为二面角的大小. 特别提醒：由于二面角的取值范围是[0,π],而两个面的法向量的方向无法从图形上直观确定,因此不能认为二面角的大小就是其两个面法向量夹角的大小,需要结合具体图形判断二面角是锐角还是钝角,从而求得其大小. 一、情境导学 如图，在蔬菜大棚基地有一条笔直的公路,某人要在点A处，修建一个蔬菜存储库。如何在公路上选择一个点,修一条公路到达A点,要想使这个路线长度理论上最短,应该如何设计？ 问题：空间中包括哪些距离?求解空间距离常用的方法有哪些? 二、典例解析 例1.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,求点B到直线A1C1的距离. 探究：地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”,黄道面与地球赤道面交角(二面角的平面角)为23°26'.黄道面与天球相交的大圆为“黄道”.黄道及其附近的南北宽9°以内的区域称为黄道带,太阳及大多数行星在天球上的位置常在黄道带内.黄道带内有十二个星座,称为“黄道十二宫”.从春分(节气)点起,每30°便是一宫,并冠以星座名,如白羊座、狮子座、双子座等等,这便是星座的由来. 问题：空间角包括哪些角?求解空间角常用的方法有哪些? 注：用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点: (1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段;(2)在直线上可以任意选点,但一般选较易求得坐标的特殊点; (3)直线的方向向量可以任取,但必须保证计算正确. 求点到平面的距离的主要方法 (1)作点到平面的垂线,点到垂足的距离即为点到平面的距离. (2)在三棱锥中用等体积法求解. (3)向量法:d=(n为平面的法向量,A为平面上一点,MA为过点A的斜线段) 1.若异面直线l1,l2的方向向量分别是a=(0,-2,-1),b=(2,0,4),则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于(　　) A.- B. C.- D. 2.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°,则直线l与平面α所成的角等于(　　) A.120° B.60° C.150° D.30° 3.二面角α-l-β中,平面α的一个法向量为n1=,平面β的一个法向量是n2=,那么二面角α-l-β的大小等于(　　) A.120° B.150° C.30°或150° D.60°或120° 4、.两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),且两平面的一个法向量n=(-1,0,1),则两平面间的距离是(　　) A. B. C. D.3 5.若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直,且满足PA=PB=PC=1,则点P到平面ABC的距离是(　　) A. B. C. D. 6.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是平面A1B1C1D1的中心,则O到平面ABC1D1的距离是 (　　) A. B. C. D. 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$