1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 教学设计-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 （一）教学内容 用向量法解决空间中点到直线、点到平面的距离问题 （二）教学目标 ①通过类比平面内点到直线距离公式的推导，能利用投影向量得到点到直线、点到平面的距离公式； ②结合一些具体的距离问题的解决，归纳空间向量解决立体几何问题的“三部曲”，提升直观想象、数学运算等素养； （三）教学重点与难点 重点：利用投影向量推导点到直线的距离公式和点到平面的距离公式. 难点：利用投影向量统一研究空间距离问题. （四）教学过程 教学活动一：聚焦基本问题 问题1.立体几何中有哪些距离问题？ 师生活动：通过教师提问，学生回答，确定立体几何中的各种距离问题.教师进一步指出，我们已经在学习空间向量的坐标运算时学习了两点间的距离，接下来进一步利用向量研究其他距离问题. 追问.你认为可以如何研究这些距离问题？ 师生活动：教师进一步引导学生将上述距离问题归为两类，并由学生交流、讨论得出研究的路径，两点间的距离是根本，点到直线的距离和点到平面的距离是基础，其他距离问题都可以转化为这两类距离问题. （设计意图：明确研究内容和研究思路，将距离问题归类，引导学生研究其中最基本的问题） 教学活动二：探究点到直线的距离 问题2. 已知一条直线和直线外的一点，求点到直线的距离？ 追问1.问题中有哪些要素？如何用向量来表示这些几何要素？ 师生活动：教师引导学生用向量表示问题中的点和直线两个几何要素.用直线上任意一点A和点构成向量，建立点与直线的关联；直线由一个点和一个方向向量确定，可以取单位方向向量表示直线的方向向量. 追问2.作点 到直线的距离，向量与点到直线的距离之间有什么关系？ 师生活动：学生自主探究，得出向量及其在直线上的投影向量与之间的关系，得到. 追问3.你能借助图形，用向量方法求出点到直线的距离吗？ 师生活动：教师先引导学生得出在直线上的投影向量的表达式，进而在中，由勾股定理得点到直线距离公式 （设计意图：引导学生自主探究，利用向量表示问题中的几何元素，再利用投影向量以及勾股定理推导点到直线的距离公式.） 问题3.类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行线之间的距离？ 师生活动：教师引导学生分析，问题中的条件是什么，如何利用条件实现问题的转化.通过讨论得出将两条平行直线之间的距离转化为点到直线的距离. （设计意图：让学生感悟转化思想，化未知为已知.为后续把直线与平面间的距离、两个平行平面间的距离转化为点到平面的距离，在思想方法上做铺垫.） 教学活动三：类比探究，推到点到平面的距离公式 问题4.类似于点到直线的距离，如何求平面外一点到平面的距离？ 追问1.类似于直线可由一个点和方向向量确定，确定一个平面的条件是什么？ 师生活动:由学生回答. 追问2.你能类比求点到直线的距离的方法，利用向量投影求出点到平面的距离吗？ 师生活动：学生独立思考，然后分组讨论交流；教师巡视、点播；学生分享研究结果，多媒体投影展示，师生评价，梳理成果，得出用空间向量求点到平面的距离的步骤： 第一步，确定平面的法向量； 第二步，选择“参考向量”； 第三步，确定“参考向量”向法向量的的投影向量； 第四步，求投影向量的模长，得到 （设计意图：类比点到直线距离的研究过程，合作探究，得到点到平面的距离公式，让学生进一步体会平面的法向量在刻画平面、求距离中的作用.在求解点到平面的距离的过程中，平面的法向量的方向和法向量上投影向量的长度既体现了图形直观，又提供了代数定量刻画.在这个过程中，向量与起点无关的自由性也为求距离带来了便利.） 问题5.如何求平行于平面的直线到平面的距离？两个平行平面之间的距离呢？ 教学活动四：实践应用，归纳“三部曲” 师生活动：通过学生回答，把问题转化为求平面外一点到平面的距离，由此得到求距离问题的统一公式. （设计意图：师生共析，将平行于平面的直线到平面的距离和两个平行平面间的距离转化为点到平面的距离，得到统一的向量表达式，进一步体会转化的思想.） 教学活动四:典型例题，实践应用 例1 .如图3.在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点. （1） 求点到直线的距离； （2） 求直线到面的距离. （1）师生共同分析完成，教师板演，作出示范；（2）学生小组讨论，教师巡视，将抽查结果投影，对结果进行点评. （设计意图：通过典型例题，使学生巩固并逐步掌握利用向量方法求空间距离的方法，体会向量方法在解决距离问题中的作用，渗透用空间向量解决立体几何问题的一般过程.） 问题6.结合例1，回顾用空间向量解决距离问题的过程，你能总结用向量方法解决立体几何问题的基本步骤吗？ 师生活动：学生先讨论回答，师生共同归纳，得到“三部曲” （设计意图：结合例1，以及以前的一些空间向量解决立体几何的问题，梳理出“三部曲”，体会向量方法是解决立体几何问题的普适性方法.） 教学活动五：梳理归纳，感悟本质 问题7.回顾这节课的学习，我们学习了哪些内容？用的是什么方法？ （设计意图：通过课堂小结，梳理总结本节课所学知识和学习过程，提炼用向量方法解决距离问题的过程与方法，使学生形成用向量方法研究距离问题的完整认识，进一步体会用向量方法解决立体几何问题的一般步骤.） 教学活动六：课堂小结 ①本节课我们用什么方法借助平面内点到直线距离的求法，推导出了空间中点到直线及点到平面的求法. ②空间中点到平面距离的公式是什么？ ③空间向量法求空间距离的“三部曲”是什么？ 教学活动七：布置作业 教科书习题1.4第6,7题 （五）目标检测试题 1.在棱长为1 的正方体中，点到平面的距离等于 ；直线到平面的距离等于 ；平面到平面的距离等于 . 2.在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点. 求点到直线的距离； （2）求直线到直线的距离； （3）求点到平面的距离； （4）求直线到平面的距离. 学科网（北京）股份有限公司 $$