第46讲 数列中的奇偶项问题（微专题）-2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）

第46讲 数列中的奇偶项问题（微专题） 题型选讲 题型一、分段函数的奇偶项求和 例1、（深圳市罗湖区期末试题）已知数列中，，. （1）求数列的通项公式； （2）设求数列的前100项和. 变式1、（2023·黑龙江大庆·统考三模）已知数列满足． (1)证明：是一个等差数列； (2)已知，求数列的前项和． 变式2、（2023·吉林·统考三模）已知数列满足的前n项和为． (1)求，，并判断1024是数列中的第几项； (2)求． 变式3、（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知数列满足，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求证：. 变式4、（2023·湖南邵阳·统考三模）记为等差数列{}的前n项和，已知，数列{}满足. (1)求数列{}与数列{}的通项公式； (2)数列{}满足，n为偶数，求{}前2n项和. 变式5、（2023·湖南岳阳·统考三模）已知等比数列的前n项和为，其公比，，且． (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前n项和． 题型二、类型 例2、【2020年新课标1卷文科】数列满足，前16项和为540，则 _____________ 变式1、（2021·山东济宁市·高三二模）已知数列是正项等比数列，满足是、的等差中项，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 变式2、【2022·广东省深圳市福田中学10月月考】已知等差数列{an}前n项和为Sn，，. （1）求数列{an}的通项公式及前n项和Sn； （2）设，求{bn}前n项和Tn. 题型三、 类型 例3、（2023·广东深圳·统考一模）记，为数列的前n项和，已知，． (1)求，并证明是等差数列； (2)求． 变式1、（2022·湖北省鄂州高中高三期末）已知数列满足，；数列前项和为，且，. (1)求数列和数列的通项公式； (2)设，求前项和. 变式2、（2022·湖北省鄂州高中高三期末）已知数列满足，；数列前项和为，且，. (1)求数列和数列的通项公式； (2)设，求前项和. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第46讲 数列中的奇偶项问题（微专题） 题型选讲 题型一、分段函数的奇偶项求和 例1、（深圳市罗湖区期末试题）已知数列中，，. （1）求数列的通项公式； （2）设求数列的前100项和. 【解析】 【小问1详解】 ， 所以 是常数列，即 ； 【小问2详解】 由（1）知， 是首项为2，公差为3等差数列， 由题意得 ， ， 设数列，的前50项和分别为，， 所以 ，， 所以的前100项和为 ； 综上， ，的前100项和为. 变式1、（2023·黑龙江大庆·统考三模）已知数列满足． (1)证明：是一个等差数列； (2)已知，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【详解】（1）当时，可得， 当时，由， 则， 上述两式作差可得， 因为满足，所以的通项公式为，所以， 因为（常数）， 所以是一个等差数列． （2）， 所以， 所以数列的前项和． 变式2、（2023·吉林·统考三模）已知数列满足的前n项和为． (1)求，，并判断1024是数列中的第几项； (2)求． 【答案】(1)，；1024是数列的第342项 (2) 【详解】（1）由可得，． 令，解得：为偶数，不符合题意，舍去； 令，解得：，符合题意． 因此，1024是数列的第342项． （2） ． 另解：由题意得，又， 所以数列是以为首项，4为公比的等比数列． ，又， 所以数列是以4为首项，6为公差的等差数列． 为数列的前n项和与数列的前项和的总和． 故. 变式3、（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知数列满足，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析. 【详解】（1）由题意, 所以, 因为,所以数列是首项为2,公比为2的等比数列, 所以,即, 而, 所以 （2）方法一：由得 方法二：因为 所以 变式4、（2023·湖南邵阳·统考三模）记为等差数列{}的前n项和，已知，数列{}满足. (1)求数列{}与数列{}的通项公式； (2)数列{}满足，n为偶数，求{}前2n项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为d， ，即，，. ，① ，② 所以①-②得，， .当时，，符合. . （2），依题有： . 记，则. 记， 则 . 所以 变式5、（2023·湖南岳阳·统考三模）已知等比数列的前n项和为，其公比，，且． (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为是等比数列，公比为，则 ， 所以，解得， 由，可得，解得， 所以数列的通项公式为． （2）由（1）得， 当n为偶数时， ； 当n为奇数时； 综上所述：. 题型二、类型 例2、【2