专题5.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数（讲+练）-备战2024年高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

专题5.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数 【核心素养】 1.将象限角及终边相同的角综合考查，凸显数学抽象、直观想象和数学运算的核心素养． 2．结合方程、基本不等式、二次函数的最值及弧度制的应用考查弧长公式、面积公式及最值问题，凸显直观想象、数学运算的核心素养． 3．将三角函数的定义、三角函数符号的判断、三角函数线的应用综合考查，凸显直观想象、数学运算的核心素养． 知识点一 象限角及终边相同的角 1.任意角、角的分类： ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． 2.终边相同的角： 终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)． 知识点二 弧度制 1.弧度制： ①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径． ③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关． 2.弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度． 若一个角的弧度数为α，角度数为n，则α rad＝()°，n°＝n· rad． 3.扇形的弧长及面积公式 (1)弧长公式 在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角大小为α，则|α|＝，变形可得l＝|α|r，此公式称为弧长公式，其中α的单位是弧度． (2)扇形面积公式 由圆心角为1 rad的扇形面积为＝r2，而弧长为l的扇形的圆心角大小为 rad，故其面积为S＝×＝lr，将l＝|α|r代入上式可得S＝lr＝|α|r2，此公式称为扇形面积公式． (3)弧长公式及扇形面积公式的两种表示 名称 角度制 弧度制 弧长公式 l＝ l＝__|α|r__ 扇形面积公式 S＝ S＝　r2　＝　lr　 注意事项 r是扇形的半径，n是圆心角的角度数 r是扇形的半径，α是圆心角的弧度数，l是弧长 知识点三 三角函数的定义 1.任意角的三角函数定义： 设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 （1）点P的纵坐标叫角α的正弦函数，记作sin α＝y； （2）点P的横坐标叫角α的余弦函数，记作cos α＝x； （3）点P的纵坐标与横坐标之比叫角α的正切函数，记作tan α＝.它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数． 将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数y＝sinx，x∈R； 余弦函数 y＝cosx，x∈R； 正切函数 y＝tanx，x≠＋kπ（k∈Z）． 2． 三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦 知识点四 三角函数线 三角函数线 有向线段MP为正弦线 有向线段OM为余弦线 有向线段AT为正切线 常考题型剖析 题型一：象限角及终边相同的角 【典例分析】 例1-1.（2022秋·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知集合，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 例1-2.（2023·全国·高三对口高考）①若角与角的终边相同，则与的数量关系为 ；②若角与角的终边关于x轴对称，则与的数量关系为 ；③若角与角的终边关于y轴对称，则与的数量关系为 ；④若角与角的终边在一条直线上，则与的数量关系为 ；⑤如果是第一象限的角，那么是第 象限的角. 【规律方法】 1.象限角的两种判断方法 (1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角． (2)转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角． 2.象限角与轴线角(终边在坐标轴上的角)的集合表示 (1)象限角： 象限角 集合表示 第一象限角 {α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z} 第二象限角 {α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z} 第三象限角 {α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z} 第四象限角 {α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z} (2)轴线角： 角的终边的位置 集合表示 终边落在x轴的非负半轴上 {α|α＝k·360°，k∈Z} 终边落在x轴的非正半轴上 {α|α＝k·360°＋180°，k∈Z} 终边落在y轴的非负半轴上 {α|α＝k·360°＋90°，k∈Z} 终边落在y轴的非正半轴上 {α|α＝k·360°＋27