第四章数列 知识点清单-2022-2023学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

新教材 苏教版2019版 数学选择性必修第一册 第4章知识点清单 目录 第4章　数列 4. 1 数列 4. 2 等差数列 4. 3 等比数列 4. 4 数学归纳法 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 第4章　数列 4. 1 数列 一、数列的相关概念 1. 数列的概念 　　按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫作这个数列的项. 2. 数列的表示 　　数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}，其中a1称为数列{an}的第1项或首项，a2称为第2项……an称为第n项. 3. 数列的分类 (1)按项数可分为有穷数列、无穷数列. (2)按项的变化趋势可分为递增数列(an+1>an)、递减数列(an+1<an)、常数列(an+1=an)、摆动数列(有些项满足an+1>an，有些项满足 an+1<an)，其中n∈N*. 4. 数列与函数的联系与区别 　　数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，k})为定义域的函数an=f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值. 反过来，对于函数y=f(x)，如果f(i)(i=1，2，3，…)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1)，f(2)，f(3)，…，f(n)，…. 二、数列的通项公式 1. 一般地，如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫作这个数列的通项公式. 2. 数列可以由通项公式来给定，也可以通过列表或图象来表示. 三、数列的递推公式 1. 一般地，如果已知一个数列{an}的第1项(或前几项)，且任一项an与它的前一项 an-1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫作这个数列的递推公式. 递推公式也是给定数列的一种方法. 四、求数列的通项公式  1. 据数列的前几项写出它的一个通项公式的步骤 (1)观察数列的前几项，一般从下面4个角度出发： ①各项的符号特征； ②各项能否拆分，以及拆分后的特征； ③分式的分子、分母的特征； ④相邻项的变化规律. (2)寻找项与对应的项的序号之间的规律，一般方法如下： ①统一项的结构，将数列的各项拆分成若干个常见数列的“和”“差”“积”“商”，如都化成分式、根式等； ②分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分与对应序号间的函数解析式； ③当一个数列各项的符号出现“+”“-”相间时，应把符号分离出来，可用(-1)n或(-1)n+1来表示； ④当数列的奇偶项分别呈现各自的规律时，一般考虑用分段的形式给出，有时也可以将给出的各项统一化成某种形式. 五、利用数列与函数的关系解决相关问题 1. 数列是一种特殊的函数，可以通过研究函数的性质来研究数列的性质. (1)判断数列的单调性 数列{an}的单调性一般是通过比较an和an+1的大小来判断，有时还用图象法或函数法. 数列{an}递增⇔an+1>an(n∈N*)；数列{an}递减⇔an+1<an(n∈N*)；数列{an}为常数列⇔an+1=an(n∈N*). (2)求数列{an}的最大(小)项的常用方法 ①当 (n≥2，n∈N*)时，an是数列中的最大项；当 (n≥2，n∈N*)时，an是数列中的最小项. ②利用函数的单调性求最大(小)项. (3)判断数列的周期性 数列的周期性可由函数的周期性得到，也可通过数列的前几项归纳出数列的周期. 六、直利用数列的递推关系解决问题 1. 根据数列的递推公式和第1项(或其他项)求数列前几项时，首先要弄清公式中各部分的关系，然后依次代入计算即可. 2. 求数列中的某项时，对于通项公式，可以通过将序号代入直接求解，而对于递推公式，必须通过逐项计算求出该项. 3. 由递推公式求通项公式的常用技巧 (1)形如an+1-an=f(n)的递推公式，可以利用a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=an(n≥2，n∈N*)求出通项公式，这种方法叫累加法； (2)形如=f(n)(an≠0)的递推公式，可以利用a1···…·=an(n≥2，n∈N*)求出通项公式，这种方法叫累乘法. 4. 2 等差数列 4. 2. 1　等差数列的概念 4. 2. 2　等差数列的通