1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 精讲（3大题型）-【题型分类归纳】2023-2024学年高二数学同步讲与练（人教A版2019选择性必修第一册）

1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 重点：1、掌握空间中点、线、面的向量表示；2、掌握平面的法向量的概念，并会用待定系数法求平面的法向量。 难点：数量掌握用方向向量、法向量证明空间中的平行与垂直关系。 一、空间中点的位置向量 如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量． 二、空间中直线的向量表示式 1、直线的方向向量： 若A、B是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量。 【注意】（1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量。 （2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算。 2、空间直线的向量表示式： 直线l的方向向量为a ，且过点A。如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta①，把＝a代入①式得＝＋t②， ①式和②式都称为空间直线的向量表示式． 三、空间中平面的向量表示式 1、平面ABC的向量表示式 空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使，我们称其为空间平面ABC的向量表示式。 2、平面的法向量 如图，若直线，取直线的方向向量，称为平面的法向量； 过点A且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 3、利用待定系数法求平面法向量的步骤 （1）设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z) （2）选向量：在平面内选取两个不共线向量， （3）列方程组：由列出方程组 （4）解方程组： （5）赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1) （6）得结论：得到平面的一个法向量 4、求平面法向量的三个注意点 （1）选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量 （2）取特值：在求n的坐标时，可令x，y，z中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量 （3）注意：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0 四、空间中直线、平面的平行 1、线线平行：若分别为直线的方向向量，则使得 . 2、线面平行：设直线的方向向量，是平面的法向量，，则. 法2：在平面内取一个非零向量，若存在实数，使得，且，则. 法3：在平面内取两个不共线向量，若存在实数，使得，且，则. 3、面面平行：设分别是平面的法向量，则，使得. 五、空间中直线、平面的垂直 1、线线垂直：若分别为直线的方向向量，则. 2、线面垂直：设直线的方向向量，是平面的法向量， 则，使得. 法2：在平面内取两个不共线向量，若.则. 3、面面垂直：设分别是平面的法向量，则. 题型一 求平面的法向量 【例1】（2022秋·河北沧州·高二校联考阶段练习）已知，则平面ABC的一个单位法向量是（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2022秋·山东济宁·高二校考阶段练习）已知，，，则下列向量是平面法向量的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023·江苏·高二专题练习）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，.若建立如图所示的“空间直角坐标系，则平面的一个法向量为（ ）    A． B． C． D． 【变式1-3】（2023·江苏·高二专题练习）在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求： （1）平面的一个法向量； （2）平面的一个法向量. 题型二 利用空间向量证明平行关系 【例2】（2023春·高二课时练习）已知棱长为1的正方体在空间直角坐标系中的位置如图所示，分别为棱的中点，求证：. 【变式2-1】（2023春·高二课时练习）如图，在四面体A-BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=．M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC．证明：PQ平面BCD； 【变式2-2】（2023·江苏·高二专题练习）在如图所示的五面体中，面是边长为的正方形，面，，且，为的中点，为中点.求证：平面. 【变式2-3】（2022·全国·高二专题练习）如图，已知棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点，求证：平面∥平面. 题型三 利用向量证明垂直关系 【例3】（2023春·高二课时练习）已知四棱锥中，底面为正方形，平面，，，、分别为、的中点.求证：； 【变式3-1】（2022·全国·高三专题练习）如图，在正方体中，，分别为，的中点．求证：平面； 【变式3-2】（2023春·