1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系（4知识点+6题型）-2024-2025学年上学期高二数学同步讲与练（人教A版2019选择性必修第一册）

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 空间中点的向量和直线的向量表示 1．设A是直线l上一点，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，设P是直线l上任意一点， (1)点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得＝ta，即＝t. (2)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，即＝＋t. 2．空间任意直线都可以由直线上一点及直线的方向向量唯一确定． 注意点： (1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合． (2)与直线l平行或重合的任意非零向量a都是直线l的方向向量，且直线l的方向向量有无数个． 理解直线方向向量的概念 (1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量． (2)直线的方向向量不唯一． 知识点2 空间中平面的向量表示 1.如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α内任意一点，由 平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝xa＋yb. 2.如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式． 3.空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·＝0}． 注意点： (1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量． (2)一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行． 4.求平面法向量的方法与步骤 (1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两个不共线向量，如，. (2)设平面的法向量为n＝(x，y，z)． (3)联立方程组并求解． (4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为非零常数，便可得到平面的一个法向量． 知识点3 平行关系的空间向量表示 1.直线和直线的平行 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2. 证明线线平行的两种思路： (1)(基向量法)用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量，通过向量的线性运算，利用向量共线的充要条件证明． (2)(坐标法)建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示． 2.直线和平面平行 设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0. 注意点： (1)证明线面平行的关键是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直． (2)特别强调直线在平面外． 利用空间向量证明线面平行一般有三种方法： (1)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示． (2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证． (3)先求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直． 注意：以上三种方法都需要点明：直线在平面外． 3.平面和平面平行 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2. 证明面面平行的方法 (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行． (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 知识点4 垂直关系的空间向量表示 1.直线和直线的垂直 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. 注意点： (1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方向向量互相垂直． (2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量互相垂直，坐标法证明两直线垂直即证两直 线方向向量的数量积为0. 证明两直线垂直的基本步骤 (1)坐标法：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直． (2)基向量法：确定基向量→表示直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直． 2.直线与平面垂直 设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn. 若证明线面垂直，即证明直线的方向向量与平面的法向量平行． 证明线面垂直的方法： (1)基向量法：选取基向量，用基向量表示直线所在的向量，证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论． (2)坐标法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标，证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论． (3)法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后证明直线方向向量与平面法向量共线，从而证得结论． 3.平面与平面垂直 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0. 证明面面垂直的两种方法 (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直． 思路方法总结 1、求平面法向量的三个注意点 （1）选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量； （2）取特值：在求n的坐标时，可令x，y，z中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量； （3）注意：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0． 2、向量法证明直线与平面平行的思路 证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量共线，再说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量的运算． 3、向量法证明面面垂直的思路 （1）利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径 一是利用两个平面垂直的判定定理，将面面垂直问题转化为线面垂直，进而转化为线线垂直； 二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直得面面垂直. （2）向量法证明面面垂直的优点主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，降低了思维难度. 典例·举一反三 题型一 空间中直线的方向向量 例1．如图，直三棱柱中，，，，，是的中点． (1)求直线的一个方向向量；(2)求证：． 跟踪训练 1．已知向量分别是直线的一个方向向量，若，则（    ） A．-3 B．-4 C．3 D．4 2．直线与的方向向量分别为和，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．重合 3．已知点，，若直线的一个方向向量为，则 . 题型二 空间中平面法向量 例2．在正方体中，，分别为棱，的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：    (1)平面的一个法向量； (2)平面的一个法向量． 跟踪训练 1．在空间直角坐标系中，过，，三点的平面的法向量可以是（    ） A． B． C． D． 2．在空间直角坐标系中，若平面经过点，且是平面的一个法向量.若点为平面内的一点，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．如图，四棱柱为正方体． ①直线的一个方向向量为；      ②直线的一个方向向量为； ③平面的一个法向量为；      ④平面的一个法向量为． 则上述结论正确的是 .（填序号） 题型三 利用空间向量判断位置关系 例3．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，下列结论成立的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 跟踪训练 1．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（    ） A． B． C． D． 2．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（   ） A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则 B．两个不同的平面，的法向量分别是，，则 C．直线的方向向量，平面的法向量是，则 D．直线的方向向量，平面的法向量是，则 3．已知直线的方向向量是，平面的法向量是，与的位置关系为 . 题型四 利用空间向量证明平行关系 例4．如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，，点为的中点.求证：平面. 跟踪训练 1．如图，四棱锥中，侧棱平面，点是的中点，底面是直角梯形，.求证：平面； 2．如图，在长方体中，，，.求证：平面平面. 3．如图所示，四边形为矩形，平面，，，，分别是，，的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 题型五 利用空间向量证明垂直关系 例5．如图，在直四棱柱中，底面为直角梯形，分别为的中点，，用向量法证明：直线平面．    跟踪训练 1．如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，分别为棱的中点，且． (1)求的值；(2)用向量法证明：平面平面． 2．如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为的中点，为中点．求证：平面． 3．如图1，在边长为4的菱形中，，于点，将沿折起到的位置，使，如图2.    (1)求证：平面； (2)判断在线段上是否存在一点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 题型六 利用向量法解决探索性问题 例6．已知四棱锥的底面为直角梯形，平面，.    (1)若点是棱上的点，且满足，证明：平面； (2)若点为棱上的一点（不含端点），试探究上是否存在一点N，使得平面ADN平面BDN？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由. 跟踪训练 1．已知在四棱锥中，底面是矩形，且，，平面，、分别是线段、的中点. (1)求证：； (2)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 2．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱，E是的中点， (1)求证：平面 ； (2)求证：平面； (3)侧棱上是否存在一点F，使得平面，若存在，则求的值；若不存在，请说明理由. 3．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，三角形为正三角形，且侧面底面.分别为线段的中点.    (1)求证：平面；(2)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 空间中点的向量和直线的向量表示 1．设A是直线l上一点，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，设P是直线l上任意一点， (1)点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得＝ta，即＝t. (2)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，即＝＋t. 2．空间任意直线都可以由直线上一点及直线的方向向量唯一确定． 注意点： (1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合． (2)与直线l平行或重合的任意非零向量a都是直线l的方向向量，且直线l的方向向量有无数个． 理解直线方向向量的概念 (1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量． (2)直线的方向向量不唯一． 知识点2 空间中平面的向量表示 1.如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α内任意一点，由 平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝xa＋yb. 2.如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式． 3.空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·＝0}． 注意点： (1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量． (2)一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行． 4.求平面法向量的方法与步骤 (1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两个不共线向量，如，. (2)设平面的法向量为n＝(x，y，z)． (3)联立方程组并求解． (4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为非零常数，便可得到平面的一个法向量． 知识点3 平行关系的空间向量表示 1.直线和直线的平行 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2. 证明线线平行的两种思路： (1)(基向量法)用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量，通过向量的线性运算，利用向量共线的充要条件证明． (2)(坐标法)建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示． 2.直线和平面平行 设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0. 注意点： (1)证明线面平行的关键是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直． (2)特别强调直线在平面外． 利用空间向量证明线面平行一般有三种方法： (1)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示． (2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证． (3)先求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直． 注意：以上三种方法都需要点明：直线在平面外． 3.平面和平面平行 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2. 证明面面平行的方法 (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行． (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 知识点4 垂直关系的空间向量表示 1.直线和直线的垂直 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. 注意点： (1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方向向量互相垂直． (2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量互相垂直，坐标法证明两直线垂直即证两直 线方向向量的数量积为0. 证明两直线垂直的基本步骤 (1)坐标法：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直． (2)基向量法：确定基向量→表示直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直． 2.直线与平面垂直 设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn. 若证明线面垂直，即证明直线的方向向量与平面的法向量平行． 证明线面垂直的方法： (1)基向量法：选取基向量，用基向量表示直线所在的向量，证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论． (2)坐标法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标，证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论． (3)法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后证明直线方向向量与平面法向量共线，从而证得结论． 3.平面与平面垂直 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0. 证明面面垂直的两种方法 (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直． 思路方法总结 1、求平面法向量的三个注意点 （1）选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量； （2）取特值：在求n的坐标时，可令x，y，z中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量； （3）注意：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0． 2、向量法证明直线与平面平行的思路 证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量共线，再说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量的运算． 3、向量法证明面面垂直的思路 （1）利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径 一是利用两个平面垂直的判定定理，将面面垂直问题转化为线面垂直，进而转化为线线垂直； 二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直得面面垂直. （2）向量法证明面面垂直的优点主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，降低了思维难度. 典例·举一反三 题型一 空间中直线的方向向量 例1．如图，直三棱柱中，，，，，是的中点． (1)求直线的一个方向向量； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系后，写出的坐标即可求解； （2）写出的坐标，然后证明即可. 【详解】（1） 由题意知，两两垂直，故以点B为原点， 分别以、与的方向为与轴的正方向，建立空间直角坐标系， 所以、、、、 、． 则，是直线的一个方向向量 （2）因为M是的中点，所以，所以， 又因为， 所以，所以． 跟踪训练 1．已知向量分别是直线的一个方向向量，若，则（    ） A．-3 B．-4 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用空间向量共线的充要条件计算即得. 【详解】由，可得， 所以，解得， 所以. 故选：C. 2．直线与的方向向量分别为和，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．重合 【答案】B 【分析】判断向量、的关系，即可得出直线与的位置关系. 【详解】因为直线与的方向向量分别为和， 则，所以，，则. 故选：B. 3．已知点，，若直线的一个方向向量为，则 . 【答案】 【分析】利用方向向量与共线向量的定义即可求得，可得结果. 【详解】易知，显然方向向量与共线， 即，解得，所以； 因此可得； 故答案为： 题型二 空间中平面法向量 例2．在正方体中，，分别为棱，的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：    (1)平面的一个法向量； (2)平面的一个法向量． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)（答案不唯一） 【分析】（1）根据法向量的定义，结合空间向量垂直的坐标表示公式进行求解即可； （2）根据法向量的定义，结合空间向量垂直的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】（1）设正方体的棱长为2， 则，，，， （1）设平面的一个法向量为， ，， 则即 令，则，， 平面的一个法向量为．（答案不唯一） （2），， 设平面的一个法向量为． 即 令，则，， 平面的一个法向量为．（答案不唯一） 跟踪训练 1．在空间直角坐标系中，过，，三点的平面的法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据法向量的定义可列式计算，，从而可解． 【详解】，， ，， 设平面的一个法向量是，则， 取，则，故， 只要与共线的向量，均是平面的一个法向量，由于与共线， 故是平面的一个法向量， 故选：C 2．在空间直角坐标系中，若平面经过点，且是平面的一个法向量.若点为平面内的一点，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据法向量定义以及向量垂直的坐标表示可得，联立解方程组即可得结果. 【详解】易知， 依题意，即， 联立，解得， 所以点. 故选：B 3．如图，四棱柱为正方体． ①直线的一个方向向量为；      ②直线的一个方向向量为； ③平面的一个法向量为；      ④平面的一个法向量为． 则上述结论正确的是 .（填序号） 【答案】①②③ 【分析】根据直线的方向向量和平面的法向量的定义，结合空间直角坐标系和正方体的性质即可一一判断. 【详解】不妨设正方体的棱长为1，则按照图中坐标系可知， 于是，,故① ，② 正确； 因平面，而， 故 可作为平面的法向量，即③正确； 在正方体中，因平面,平面， 则，易得，又，故平面， 而，即可作为平面的法向量，故④错误. 故答案为：①②③. 题型三 利用空间向量判断位置关系 例3．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，下列结论成立的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据题意，结合直线的方向向量和平面分法向量的关系，逐项判定，即可求解. 【详解】因为直线的方向向量为，平面的法向量为， 由，可得，所以A不正确，C正确； 对于B中，由，可得或，所以B、D都不正确； 故选：C. 跟踪训练 1．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据线面平行得出，从而即可求解 【详解】若，则，从而， 即，解之得：. 故选：A 2．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（   ） A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则 B．两个不同的平面，的法向量分别是，，则 C．直线的方向向量，平面的法向量是，则 D．直线的方向向量，平面的法向量是，则 【答案】AB 【分析】运用空间线线平行，线面平行，线面垂直，面面垂直的向量证明方法,结合向量平行垂直的坐标结论，逐个判断即可. 【详解】两条不重合直线，的方向向量分别是，，则，所以，A正确； 两个不同的平面，的法向量分别是，，则，所以，B正确； 直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以或，C错误； 直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以，D错误． 故选：AB 3．已知直线的方向向量是，平面的法向量是，与的位置关系为 . 【答案】或 【分析】利用空间向量法判断线面关系即可得解. 【详解】因为直线的方向向量是，平面的法向量是， 而， 所以，则或. 故答案为：或. 题型四 利用空间向量证明平行关系 例4．如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，，点为的中点.求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据条件，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量及，利用向量法即可证明结果. 【详解】平面平面， 平面平面， 平面，所以平面， 则以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则 . ， 设平面的法向量为，则， 令，解得：，所以， 又，即， 又平面，所以平面. 跟踪训练 1．如图，四棱锥中，侧棱平面，点是的中点，底面是直角梯形，.求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】以为原点，分别以、、的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，由线面平行的向量证法可得答案. 【详解】平面，以为原点，分别以、、的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. ，点是的中点， ,， 则 平面，平面的一个法向量为. ， 平面， 平面. 2．如图，在长方体中，，，.求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，以D为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，由法向量平行，即可证明面面平行； 【详解】以D为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 则，，，. 设平面的法向量为， 则. 取，则，， 所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则. 取，则，， 所以平面的一个法向量为. 因为，即， 所以平面平面. 3．如图所示，四边形为矩形，平面，，，，分别是，，的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由已知可证得两两垂直，所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量证明； （2）只需证明平面的法向量与平面中的两个向量垂直即可. 【详解】（1）证明：因为平面，平面， 所以， 因为四边形为矩形，所以， 所以两两垂直， 所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，    设，，. 则，因为，，分别是，，的中点， 所以，，， 所以. 因为平面的一个法向量为，所以，即. 又因为平面，所以平面. （2）因为，所以，所以， 又平面，所以平面. 又因为，平面， 所以平面平面. 题型五 利用空间向量证明垂直关系 例5．如图，在直四棱柱中，底面为直角梯形，分别为的中点，，用向量法证明：直线平面．    【答案】证明见解析 【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，求出和平面的一个法向量的坐标，可得与平面的法向量共线，则得直线平面． 【详解】由题意知，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，    则，， ， 设平面的一个法向量为， 则即， 令，则， 所以，故直线平面． 跟踪训练 1．如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，分别为棱的中点，且． (1)求的值； (2)用向量法证明：平面平面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意可得，，所以以为坐标原点，F分别以为轴，建立空间直角坐标系，即可求解； （2）通过证明平面与平面的法向量的数量积为，即可证明. 【详解】（1）在直三棱柱中，， 又平面，， 所以平面，因此两两垂直． 建立如图所示的空间直角坐标系， 则． 所以， 所以． （2）由（1）知， ， 设平面BEA的法向量为，平面的法向量为， 则，即，令，则； ，即 令，则，所以， 所以平面平面． 2．如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为的中点，为中点．求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明、，即可得证. 【详解】如图以为原点，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 所以，则，即， ，则，即， 又，平面， 所以平面． 3．如图1，在边长为4的菱形中，，于点，将沿折起到的位置，使，如图2.    (1)求证：平面； (2)判断在线段上是否存在一点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)在线段上不存在一点，使平面平面，理由见解析 【分析】（1）首先证明平面，即可得到，再由，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，设，，求出平面、平面的法向量，根据得到方程，解得，即可判断. 【详解】（1），， ， ，，平面， 平面，平面， ， ，，平面， 平面； （2）由题意，以，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，， ，， 所以， 设平面的一个法向量为，则， 令， 则， 设，，则，， 设平面的法向量为，则，取， 平面平面， ，解得， ， 在线段上不存在一点，使平面平面．    题型六 利用向量法解决探索性问题 例6．已知四棱锥的底面为直角梯形，平面，.    (1)若点是棱上的点，且满足，证明：平面； (2)若点为棱上的一点（不含端点），试探究上是否存在一点N，使得平面ADN平面BDN？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，. 【分析】（1）利用空间向量证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系，设，由平面平面解出即可. 【详解】（1）以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，, 因为点是棱上靠近的三等分点，即，则， 则，，， 设平面的一个法向量为，满足 令，则，则． ，∴， 又平面，所以平面． （2）存在． 设，则，，，    设平面的一个法向量为，满足 令，则，故取． ，， 设平面的法向量为， 满足 令，则，故取， 若平面平面，则，即 解得，此时为的中点，则． 跟踪训练 1．已知在四棱锥中，底面是矩形，且，，平面，、分别是线段、的中点. (1)求证：； (2)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，为的四等分点（靠近）. 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理即得. （2）求出平面的法向量，设出点的坐标，利用线面平行的向量表示求解即得. 【详解】（1）在四棱锥中，底面是矩形，平面，则直线两两垂直， 以点原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，令， 于是， 因此，即， 所以. （2）由（1）知，，假定存在点满足条件， 设，， 设平面的法向量为，则，令，得， 要平面，显然平面，则只需，即，解得， 所以在线段上存在点，使得平面，点为靠近点的线段的四等分点. 2．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱，E是的中点， (1)求证：平面 ； (2)求证：平面； (3)侧棱上是否存在一点F，使得平面，若存在，则求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）连接交于点，证，即得平面； （2）由勾股定理证得，即可推得平面； （3）利用（2）结论建系，设，求出相关点和平面法向量坐标，由求出的值，即可判断求解. 【详解】（1） 如图，连接交于点，连接，由正方形可得： 因是的中点， 则， 又因平面，平面， 故平面. （2）因则, 故有,因平面，故平面. （3） 由题意和（2）的结论，如图，可以点为原点， 分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，因E是的中点，则， 设，解得，则得,, 设平面的法向量为，则 故可取.由平面可得， 即，解得，即存在点时，满足平面， 此时，. 3．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，三角形为正三角形，且侧面底面.分别为线段的中点.    (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）构造三角形的中位线得到线线平行，再利用线面平行的判定定理即可得到线面平行； （2）法一：建立空间直角坐标系，设，求出平面和平面的法向量，再利用两平面垂直的向量法即可求出结果.法二：利用几何法，先找出平面，使平面平面，再利用几何关系即可求出结果. 【详解】（1）连接交于点，连接，因为四边形是菱形，所以点为的中点. 又因为为的中点，所以， 又因为平面平面， 所以平面.    （2）设底面边长为2，连接，由于为菱形，且， 故， 所以，故有， 又三角形为正三角形，为中点，故， 又侧面底面，平面平面，面， 所以平面， 如图，以为原点，方向分别为轴正半轴，建立空间直角坐标系. 则， 设，则， 则， 设平面的法向量为，则有，得到， 取，得，，所以， 又平面法向量可取为， 由题可知，即，解得， 故存在点使得平面平面，.    法二：三角形为正三角形， 是的中点， 又侧面底面，平面平面，面， 所以平面， 连接，取的中点，连接，则是的中位线，， 所以平面， 延长交于，又面，所以平面平面. 因为，所以， 又因为，所以，， 故存在点，使得平面平面，.    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$