专题2.10 估算（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题2.10 估算（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点1】估算 对于带根号的无理数的近似值的估算，可以通过平方运算或立方运算采用“夹逼法”(即两边无限逼近的方法)逐级夹逼，先确定整数部分，再确定十分位、百分位等小数部分注意“精确到”与“误差小于”的区别:如精确到1，是四舍五入到个位，答案唯一；误差小于1，即答案与原数相差不超过1都符合题意，答案不唯一。一般情况下，误差小于1就是估算到个位，误差小于10就是估算到十位。 【知识点2】用估算比较实数的大小 1、用估算的方法比较两个数的大小，若其中有一个是无理数，一般先采用分析的方法，估算出无理数的大致取值范围，再作具体的比较。 2、比较两个数大小的常用结论 （1）（2）（3） 【考点一】估算算术平方根的取值范围 【例1】下列计算结果正确吗？说说你的理由． （1）；                     （2）． 【答案】（1）错，理由见分析；（2）错，理由见分析． 【分析】(1)根据算术平方根定义求出9.52的值，再比较即可； (2)根据立方根的定义求出2313的值，再比较即可． 解：（1）∵9.52 = 90.25，又∵90.25和8955不接近， ∴≈9.5不正确； （2）∵2313= 12326391，又∵12326391和12345不接近， ∴≈231不正确 ． 【点拨】本题考查了对算术平方根和立方根定义的应用，能理解算术平方根和立方根的定义是解此题的关键． 【举一反三】 【变式1】若一个正方形的面积是20，则它的边长最接近的整数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】通过算数平方根的算法，计算出正方形边长，再根据估算得出结果． 解：正方形的面积是20， 正方形的边长为， ， 故，则更接近4． 故选 A． 【点拨】本题考查了求算数平方根、以及估算算数平方根，其中准确算出算数平方根是关键． 【变式2】已知a，b为两个相连的整数，满足，则的立方根为 ． 【答案】3 【分析】根据夹逼法求出a，b，算出，即可得到答案． 解：∵， ∴， ∵a，b为两个相连的整数， ∴，， ∴， 故答案为3． 【点拨】本题考查二次根数的估算及立方根的定义，解题的关键是用夹逼法求出a，b． 【考点二】利用估算比较无理数的大小 【例2】阅读下列材料： ∵，即， ∴的整数部分为1，小数部分为． 请根据材料提示，进行解答： (1)的整数部分是______，小数部分是______． (2)如果的小数部分为m，的整数部分为n，求的值． (3)已知：，其中a是整数，且，请直接写出a，b的值． 【答案】(1)3，；(2)；(3)， 【分析】（1）根据材料类比进行计算，∵，即，可知结果； （2）参考材料，求出m、n进行计算即可； （3）首先求出的整式及小数部分，再进行求值即可． （1）解：∵，即， ∴的整数部分为3，小数部分为 （2）∵， ∴． ∵， ∴， ∴． （3）∵， ∴， ∴，． 【点拨】本题主要考查的是实数的应用，理解材料并灵活运用是解题的关键． 【举一反三】 【变式1】秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，下列估算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用夹逼法估算无理数即可得出答案． 解：4＜5＜9， ∴2＜＜3， ∴1＜1＜2， ∴＜＜1， 故选：C． 【点拨】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键． 【变式2】与 最接近的自然数是 ．   【答案】2 【分析】先根据得到，进而得到，因为14更接近16，所以最接近的自然数是2． 解：，可得， ∴， ∵14接近16， ∴更靠近4， 故最接近的自然数是2． 故答案为：2． 【点拨】本题考查无理数的估算，找到无理数相邻的两个整数是解题的关键． 【考点三】无理数的整数部分和小数部分相关计算 【例3】已知2a+4的立方根是2，3a+b－1的算术平方根是3，的小数部分为c． (1)分别求出a，b，c的值； (2)求a+b的平方根． 【答案】(1)，，；(2) 【分析】（1）利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，即可求出a、b、c的值； （2）求出a+b的值，再求其平方根即可． 解：（1）∵的立方根是2，的算术平方根是3， ∴ 解得： ． ∵c是的小数部分，， ∴． （2）∵a=2，b=4 ∴a+b=6， ∴a+b的平方根是． 【点拨】本题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、代数式求值、求一个数的平方根等知识点．熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 【举一反三】 【变式1】若的小数部分为a，的小数部分为b，则a+b的值