第12讲 利用二阶导函数解决函数问题（高阶拓展）（5类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习考点帮（新教材新高考）

第12讲 利用二阶导函数解决函数问题（高阶拓展）（核心考点精讲精练） 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较大，分值为12分 【备考策略】1会导数的基本运算 2能理解导函数与原函数关系 3能进行函数转化求原函数导函数的导函数，并得到原函数导函数关系，进而求解原函数单调性及其他综合问题 【命题预测】在历年全国高考数学试题中，函数与导数部分是高考重点考查的内容，利用导数求解函数的单调性、极值和最值等问题是高考考查导数问题的主要内容和形式，并多以压轴题的形式出现.常常考查运算求解能力、概括抽象能力、推理论证能力和函数与方程、化归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想的渗透和综合运用，难度较大. 知识讲解 一般导数题目中求出导函数即可判断原函数的单调性，而在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易或不能直接判断出原函数的单调性，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，此时解题受阻。需要利用“二次求导才能找到导数的正负，找到原函数的单调性，才能解决问题， 若遇这类问题，必须“再构造，再求导”。本文会说明函数的二阶导数在解高考函数题中的应用。 1. 二阶导的定义 定义 1 : 若函数的导函数在点处可导, 则称在点的导数为在点 的二阶导数, 记作, 同时称在点为二阶可导. 定义 2: 若在区间上每一点都二阶可导, 则得到一个定义在上的二阶可导函数, 记作 2. 函数极值的第二判定定理 若在附近有连续的导函数, 且 （1）若, 则在点处取极大值; （2）若, 则 在点处取极小值 3. 曲线的凹凸性 设函数 在区间 内可导, 如果对应的曲线段位于其每一点的 切线的上方, 则称曲线在 内是凹的, 如果对应的曲线段位于其每一点 的切线的下方, 则称曲线在 内是凸的。从图象上来看, 曲线段向上弯 曲是凹的, 曲线段向下弯曲是凸的。 设函数 在 内具有二阶导数, 如果在 内 , 那么对应的曲线在 内是凹的, 如果在 内 , 那么对 应的曲线在 内是凸的 设 在区间 上连续, 如果对 上任意两点 , 恒有 则称 在 上的图形是凹的, 简称为凹弧; 如果恒有 则称 在 上的图形是凸的, 或简称为凸弧。 4. 曲线的拐点 曲线上凸部和凹部的分界点叫做拐点。因此拐点一定是使 的点, 但是使 的点不一定都是拐点。 5. 解决这类题的常规解题步骤为: (1) 求函数的定义域; (2) 求函数的导数 , 无法判断导函数正负; (3) 构造求 , 求 ; (4) 列出 的变化关系表; (5) 根据列表解答问题。 考点一、二阶导与函数单调性 1．（2023·江苏·统考二模）已知函数，. (1)若，求函数的单调区间； (2)若有且只有2个不同的零点，求的取值范围. 2．（2021春·陕西渭南·高三校考阶段练习）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调性． 1．（2023·湖南娄底·高三涟源市第一中学校联考阶段练习）已知函数. (1)若，讨论的单调性； (2)求证：有唯一极值点，且. 2．（2022·全国·高三专题练习）设函数，其中 (1)当时，讨论单调性； (2)证明：有唯一极值点，且. 考点二、二阶导与函数极值、最值 1．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）已知函数. (1)讨论函数的极值点个数； (2)当，方程有两个不同的实根时，且恒成立，求正数的取值范围. 2．（2022·全国·模拟预测）已知函数，其中是自然对数的底数． (1)若，是函数的极值点，证明：； (2)设函数，若函数与函数的单调区间相同，求的取值范围． 1．（2023春·河北石家庄·高三校联考开学考试）已知函数 (1)若，求f(x)在（，0）上的极值； (2)若在上恒成立，求实数a的取值范围 2．（2022秋·重庆·高三校联考阶段练习）已知函数. (1)求的极值； (2)若有两个相异的实根，证明：. 考点三、二阶导与不等式证明 1．（2023春·湖北·高三十堰一中校联考期中）已知函数，. (1)证明：当时，； (2)若，求a的取值范围； (3)证明：. 1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数． (1)证明：； (2)设函数，，其中，若函数存在非负的极小值，求a的取值范围． 2．（2022·全国·模拟预测）已知函数，． (1)当时，求证：． (2)令，若的两个极值点分别为m，n（m<n）． ①当时，求曲线在，处的切线方程（为的导函数）； ②求证：． 考点四、二阶导与函数零点或方程的根 1．（2023春·湖南长沙·高三长沙市长郡梅溪湖中学校考期中）已知，. (1)求方程的根的个