7.1为什么要证明 教案2022-2023学年数学北师大版八年级上册

第七章 平行线的证明 7.1 为什么要证明 一、教学目标 经历观察、归纳、验证等活动过程，在活动中体会到观察、实验、归纳所得到的结论未必可靠，初步感受证明的必要性，发展学生的推理意识． 二、教学重点及难点 重点：了解推理的意义，知道要判断一个数学结论是否正确，必须进行推理． 难点：会用实验验证、举出反例、推理等方法简单地验证一个数学结论是否正确． 三、教学用具 多媒体课件，三角板。 四、相关资源 《视觉错觉》多图，《铁丝围地球一圈》图片，《三角形中位线》图片． 五、教学过程 【情境导入】 以前，我们通过观察、实验、归纳得到了很多正确的结论．观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗？我们再感受几个！ 图1 图2 （1）图1中两条垂直线段a,b的长度相等吗？图2中的四边形是正方形吗？请先观察，再设法检验你观察到的结论． 答：观察感觉线段a,b的长度不相等，通过实际测量，线段a,b的长度相等； 观察感觉正方形往里凹，但用直尺比较，四边形的边是直的并且长度相等，所以是正方形. 如图，把地球看成球形，假如用一根比地球的赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大（把地球看成球形）？能放进一个红枣吗？能放进一个拳头吗？ 先凭感觉想象一下，再具体算一算，看看与你的感觉是否一致，并与同伴进行交流． 分析：设赤道周长为c，铁丝与地球赤道之间的间隙为 ： 它们的间隙不仅能放进一个红枣，而且也能放进一个拳头． 设计意图：通过呈现的几个素材，让学生认识到基于观察和直觉的结论未必可靠，就是可靠的结论也需要进行严格的推理论证。 【合作探究】 探究：数学的结论必须经过严格的论证 此图片是视频缩略图，本视频资源通过具体实例引入负数，加深对负数的理解，适用于正数和负数的教学.若需使用，请插入【情景演示】认识负数. 此图片是视频缩略图，本视频资源在“为什么要证明引入—眼见未必真实”学习中使用，加深对样本的代表性的理解。若需使用，请插入【情景演示】为什么要证明. 做一做： （1）代数式n2－n＋11的值是质数吗？取n＝0，1，2，3，4，5试一试．你能否由此得到结论：对于所有的自然数n，式子n2－n＋11的值都是质数吗？ 解析：把0，1，2，3，4，5等自然数代入n2－n＋11中进行验证． 解：列表归纳为 n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 … n2-n+11 11 11 13 17 23 31 41 53 67 83 101 121 是否为质数 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 不是 当n＝0，1，2，3，4，5时，n2－n＋11的值分别是5，5，7，11，17，全是质数．而当n＝11,时，n2－n＋11＝112－11＋11＝121＝112.所以对于所有自然数，式子n2－n＋11的值不都是质数． （2） 如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，连接DE．DE与BC有怎样位置关系和数量关系？请先猜一猜，在设法检验你的猜想．你能肯定你的结论对所有的△ABC都成立吗？与同伴交流． 分析：通过测量可能得出猜想DE∥BC，DE=BC，并通过改变三角形的形状，在不同的三角形中再次得到验证，因而较为相信这个结论的正确性；但毕竟是测量结果，难免有误差，因此难以令人信服，还需要寻求更为可信的证明． 方法总结：判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠经验、观察是不够的，必须给出严格的证明或实验验证． 设计意图： 对现在结论进行验证，让学生感受到知识有时具有一定的迷惑性（欺骗性），从而对不完全归纳的合理性产生怀疑，为下一步的学习提供必要的精神准备．“做一做”呈现的两个素材，让学生感受到归纳和测量得到的结论也未必可靠． 议一议：实验、观察、归纳是人们认识事物的重要手段．通过实验、观察、归纳得到的结论都正确吗？在上面的问题中，你是怎样判断一个结论是否正确的?说说你的经验与困惑． 师生活动：让学生列举更多的例子．同时，在讨论中自然形成共识：寻求一种办法，更为明确的说明一个结论的正确与否． 设计意图：通过相互交流，让学生进一步对“通过实验、观察、归纳得到的结论不一定都正确”有一个更深刻、更全面的认识，进而认识到证明的必要性． 【典例精析】 例1 先观察再验证． (1)图①中实线是直的还是弯曲的？ (2)图②中两条线段a与b哪一条更长？ (3)图③中的直线AB与直线CD平行吗？ 解析：①②用直尺量；③用三角板平推． 解：观察可能得出的结论是：(1)实线是弯曲的；(2)a更长一些；(3)AB与DC不平行．而我们用科学的方法验证后发现：(1)实线是直的；(2)a与b一样长；