2023年中考数学专题复习讲义——　定义新运算题型之三角函数

三(5) 定义新运算题型之三角函数 ★ 三角函数 ★ 【范例详解】 例.（定义“新方法”） 规定：给出以下四个结论：（1） ；（2）cos2x=cos2x-sin2x；（3） ；（4）其中正确的结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【解析】考查了三角函数的知识，解题的关键是熟练掌握三角函数的基础知识，理解题中公式.根据题目所规定的公式，化简三角函数，即可判断结论． 解：（1），故此结论正确； （2）cos2x=cos(x+x)=cosxcosx-sinxsinx= cos2x-sin2x，故此结论正确； （3）,故此结论正确； （4）cos15°==，故此结论错误.故选：C． 【巩固练习】 1.定义一种运算；，．例如：当，时，，则的值为_______________． 2.构建几何图形解决代数问题是“数形结合“思想的重要性，在计算tan15°时，如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15° ＝＝＝＝2－．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（ ） A． ＋1 B． － 1 C． D． 3．已知锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，边角总满足关系式：＝＝． （1）如图1，若a＝6，∠B＝45°，∠C＝75°，求b的值； （2）某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC中建一座小型景观桥CD（如图2所示），若CD⊥AB，AC＝14米，AB＝10米，sin∠ACB＝，求景观桥CD的长度． 4.对于三个数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的中位数，用max{a，b，c}表示这三个数中最大数，例如：M{﹣2，﹣1，0}=﹣1，max{﹣2，﹣1，0}=0，max{﹣2，﹣1，a}= 解决问题： （1）填空：M{sin45°，cos60°，tan60°}=___________， 如果max{3，5﹣3x，2x﹣6}=3，则x的取值范围为_____________； （2）如果2•M{2，x+2，x+4}=max{2，x+2，x+4}，求x的值； （3）如果M{9，x2，3x﹣2}=max{9，x2，3x﹣2}，求x的值． 5.关于三角函数有如下公式： ①、②、③； 利用这些公式可将某些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数求值，如： . 根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题： 如图，直升飞机在一建筑物CD上方A点处测得建筑物顶端D点的俯角， 底端C点的俯角，此时直升飞机与建筑物CD的水平距离BC为42m，求建筑物CD的高。 【参考答案】 1.【解析】此题考查了公式的变化，以及锐角三角函数值的计算，掌握公式的转化是解题的关键．根据代入进行计算即可． 解：====． 2.【解析】本题考查阅读理解能力，要求能用类比的方法解决问题．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝22.5°，所以tan 22.5°＝＝＝＝－1．选B . 3．【解析】（1）由边角关系式可求解； （2）由边角关系式可求∠B＝60°，在Rt△ACD中，利用勾股定理可求CD的长． 解：∵∠B＝45°，∠C＝75°，∴∠A＝60°，∵＝＝，∴＝＝，∴b＝2； （2）∵＝，∴＝，∴sinB＝，∴∠B＝60°，∴tanB＝＝，∴BD＝CD，∵AC2＝CD2+AD2， ∴196＝CD2+（10﹣CD）2，∴CD＝8，CD＝﹣3（舍去），∴CD的长度为8米． 4.【解析】（1）根据定义写出sin45°，cos60°，tan60°的值，确定其中位数；根据max{a，b，c}表示这三个数中最大数，对于max{3，5﹣3x，2x﹣6}=3，可得不等式组：则，可得结论； （2）根据新定义和已知分情况讨论：①2最大时，x+4≤2时，②2是中间的数时，x+2≤2≤x+4，③2最小 时，x+2≥2，分别解出即可； （3）不妨设y1=9，y2=x2，y3=3x﹣2，画出图象，根据M{9，x2，3x﹣2}=max{9，x2，3x﹣2}，可知：三个函 数的中间的值与最大值相等，即有两个函数相交时对应的x的值符合条件，结合图象可得结论． 解：（1）∵sin45°=，cos60°=，tan60°=，∴M{sin45°，cos60°，tan60°}=， ∵max{3，5﹣3x，2x﹣6}=3，则，∴x的取值范围为：， （2）2•M{2，x+2，x+4}=max{2，x+2，x+4}， 分三种情况：①当x+4≤2时，即x≤﹣2，原等式变为：2（x+4）=2，x=﹣3， ②x+2≤2≤x+4时，即﹣2≤x≤0，