2023年中考数学专题复习讲义——　 定义新运算题型之反比例函数

三(3) 定义新运算题型之反比例函数 ★ 反比例函数 ★ 【范例详解】 例1.（定义“新概念”） 阅读理解：在平面直角坐标系中，点M的坐标为(,)，点N的坐标为(,)，且x1≠x1，y2≠y2，若M、N为某矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为M、N的“相关矩形”．如图1中的矩形为点M、N的“相关矩形”． （1）已知点A的坐标为(2,0)． ①若点B的坐标为(4,4)，则点A、B的“相关矩形”的周长为________； ②若点C在直线x=4上，且点A、C的“相关矩形”为正方形， 求直线AC的解析式； （2）已知点P的坐标为(3,-4)，点Q的坐标为(6,-2)，若使函数y=的图象与点P、Q的“相关矩形 ”有两个公共点，直接写出k的取值范围． 【解析】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，解答此题需要理解“相关矩形”的定义，综合性较高，一定要注意将新旧知识贯穿起来． （1）①由相关矩形的定义可知，要求点A、B的“相关矩形”的周长，利用点A，点B的坐标求出“相关矩形”的边长即可；②由“相关矩形”的定义知， AC必为正方形的对角线，所以可得点C坐标，设直线AC的解析式为y=kx+b，代入A，C点的坐标，求出k，b的值即可； （2）首先确定P，Q的“相关矩形”的另两个顶点坐标，结合函数y=的图象与点P、Q的“相关矩形 ”有两个公共点，求出k的最大值和最小值即可得到结论． 解：（1）①∵点A的坐标为(2,0)，点B的坐标为(4,4)，∴点A、B的“相关矩形”如图所示，∴点A、B的“相关矩形”周长=2×(2+4)=12； ②由定义知，AC是点A，C的“相关矩形”的对角线，又∵点A，C的相关矩形是正方形，且A(2,0), ∴点C的坐标为(4,2)或(4,-2)设直线AC的解析式为y=kx+b，将(2,0)，(4,2)代入解得k=1,b=2，∴y=x-2, 将(2,0)，(4,-2)代入解得k=-1，b=2,∴y=-x+2,∴符合题意得直线AC的解析式为y=x-2或y=-x+2． （2）∵点P的坐标为(3,-4)，点Q的坐标为(6,2)，∴点P，Q的“相关矩形”的另两个顶点的坐标分别为（3，-2），（6，-4）当函数y=的图象经过（3，-2）时，k=-6，当函数y=的图象经过（6，-4）时，k=-24， ∴函数y=的图象与点P、Q的“相关矩形 ”有两个公共点时，k的取值范围是：-24<k<-6. 例2.（定义“新方法”） 【探究】(1)在图中，已知线段AB、CD，其中点分别为E、F. ①若A(-1,0),B(3,0),则E点坐标为_______________; ②若C(-2,2),D(-2,-1),则F点坐标为_______________; (2)在图中，已知线段AB的端点A(a,b),B(c,d),求出图中AB中点D的坐标；(用a,b,c,d的代数式表示) 【归纳】(3)无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置，当其端点坐标为A(a,b),B(c,d), AB中点为D(x,y)时，x=_____________,y=__________: 【运用】(4)在图中，一次函数y=x-2与反比例函数y=的图象交点为A、B.①求出A、B两点的坐标；②若以A、O、B、P为顶点的四边形是平行四边形，请利用上面的结论求出顶点P的坐标； 【解析】考查中点坐标公式及运用； (1)①E(1,0);②F(-2,);(2)过点A、D、B三点分别作x轴的垂线，垂足分别为A`、D`、B`，则AA`//BB`//DD`，∵D为AB的中点，由平行线分线段成比例定理可得A`D`=D`B`，∴OD`=a+=,即D点的横坐标为，同理可得D点的纵坐标为，所以AB的中点D的坐标为(,); (3)x=,y= ; (4)①,由题意可得,解得或，所以A(-1,-3),B(3,1); ②∵A(-1,-3),B(3,1),O(O,O),设平行四边形对角线的交点为点M， 当以AB为对角线时，由平行四边形对角线互相平分可得M(1,-1),∵M为OP的中点，∴P(2,-2); 当以OB为对角线时，由平行四边形对角线互相平分可得M(1.5,0.5),∵M为AP的中点，∴P(4,4); 当以OA为对角线时，由平行四边形对角线互相平分可得M(-0.5,-1.5),∵M为BP的中点，∴P(-4,-4); 综上所述，满足条件的P点坐标为(2,-2)、(4,4)或(-4,-4). 【巩固练习】 1.定义：一次函数y＝ax+b的特征数为[a，b]，若一次函数y＝﹣2x+m的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数y＝﹣的图象交于A，B两点，且点A，B关于原点对称，则一次函数y＝﹣2x+m的特征数是（ ） A．[2，3] B．[2，﹣3] C．[﹣2，3] D．[﹣2，﹣3] 2.