2023年中考数学专题复习讲义——　 定义新运算题型之圆

二(4) 定义新运算题型之圆 ★ 圆 ★ 【范例详解】 例1.（定义“新概念”） 定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形． （1）下面四边形是垂等四边形的是____________（填序号） ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形 （2）图形判定：如图1，在四边形中，∥，，过点D作BD垂线交BC的延长线于点E，且，证明：四边形是垂等四边形． （3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为24的垂等四边形内接于⊙O中，．求⊙O的半径． 【解析】考查了四边形性质与圆的垂径定理应用，准确理解新定义的垂等四边形的性质是解题的关键． （1）根据垂等四边形的性质对每个图形判断即可； （2）根据已知条件可证明四边形ACED是平行四边形，即可得AC=DE，再根据等腰直角三角形的性质即可得结果； （3）过点O作，根据面积公式可求得BD的长，根据垂径定理即可得到答案． 解:（1）①平行四边形的对角线互相平分但不垂直和相等，故不是；②矩形对角线相等但不垂直；③菱形的对角线互相垂直但不相等；④正方形的对角线互相垂直且相等，故正方形是垂等四边形； （2）∵，ED⊥BD，∴AC∥DE，又∵∥，∴四边形ADEC是平行四边形，∴AC=DE，又∵，∴△BDE是等腰直角三角形，∴BD=DE，∴BD=AC，∴四边形是垂等四边形． （3）如图，过点O作，∵四边形是垂等四边形，∴AC=BD，又∵垂等四边形的面积是24，,根据垂等四边形的面积计算方法得：，又∵，∴，设半径为r，根据垂径定理可得：在△ODE中，OD=r，DE=，∴，∴的半径为4． 例2.（定义“新方法”） 已知点和直线y=kx+b，求点P到直线y=kx+b的距离d可用公式计算．根据以上材料解决下面问题：如图，的圆心C的坐标为，半径为1，直线l的表达式为y=-2x+6，P是直线l上的动点，Q是上的动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 2 【解析】此题考查公式的运用，垂线段最短的性质，正确理解公式中的各字母的含义，确定点P与点Q最小时的位置是解题的关键.过点C作直线l的垂线，交于点Q，交直线l于点P，此时PQ的值最小，利用公式计算即可. 解：过点C作直线l的垂线，交于点Q，交直线l于点P，此时PQ的值最小，如图，∵点C到直线l的距离，半径为1，∴的最小值是，故选：B. 【巩固练习】 1．对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称圆形 A被这个圆“覆盖”．例如图中的三角形被一个圆“覆盖”．如果边长为1的正六边形被一个半径长为R的圆 “覆盖”，那么R的取值范围为________． 2.对于一个三角形，设其三个内角的度数分别为xº、yº和zº，若x、y、z满足x2+y2=z2，我们定义这个三角形为美好三角形． （1）△ABC中，若∠A=50º，∠B=70º，则△ABC （填“是”或“不是” ）美好三角形； （2）如图，锐角△ABC是⊙O的内接三角形，∠C=60º，AC=4， ⊙O的直径是4， 求证：△ABC是美好三角形; （3）当△ABC是美好三角形，且∠A=30º，则∠C为 . 3．我们预定：对角线相等的凸四边形称之为“等线四边形”． （1）①在“平行四边形、菱形、矩形、正方形”中，一定是“等线四边形”的是________； ②如图1，若四边形ABCD是“等线四边形”，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、AD的中点，依次连接E、F、G、H，得到四边形EFGH，请判断四边形EFGH的形状； （2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣2，0）、B（8，0）、P（9，﹣8），以AB为直径作圆，该圆与y轴的正半轴交于点C，若Q为坐标系中一动点，且四边形AQBC为“等线四边形”，当PQ的长度最短时，求经过A、B、Q三点抛物线的解析式； （3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是“等线四边形”，A在x负半轴上，D在y轴的负半轴上，且AD=，点B、C分别是一次函数y=与y、x轴的交点，动点P从点D开始沿y轴的正方向运动，运动的速度为2个单位长度/秒，设运动的时间为t秒，以点P为圆心，半径R=单位长度作圆，问： ①当⊙P与直线BC初次相切时，求此时运动的时间t0； ②当运动的时间t满足t＞t0且CP≤4时，⊙P与直线BC相交于点M、N，求弦长MN的最大值． 4.在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，对于点A和线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O 的弦BC（B`,C`分别是B,C的对应点），则称线段BC是⊙O 的以点A为中心的“关联线段”． （1）如图，点A,B1,C1,B2,C2,B3,C3的横､纵坐标都是整数．在线段