2023年中考数学专题复习讲义——　定义“新方法”题型之二元一次方程(组)

一(7) 定义“新方法”题型之二元一次方程(组) ★ 二元一次方程(组) ★ 【范例详解】 例.“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解方 程，就可以利用该思维方式，设，将原方程转化为：这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x，这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题．已知实数x，y满足，求的值． 【解析】考查高次方程的解法以及完全平方公式的运用，利用换元的思想，将高次方程转化为二元一次方程组是解题关键．通过“换元”的思路，可以将所要求的方程组中的元素进行换元，两个式子中都有和，因此可以令，列出方程组，从而求出a，b的值，再求出的值. 解：令，则原方程组可化为：，整理得：，②-①得： ，解得：，代入②可得：b=4，∴方程组的解为：或， ，当a=5时，=6，当a=-5时，=26，因此的值为6或26. 【巩固练习】 1．定义一种新的运算“※”，规定：x※y＝mx+ny2，其中m、n为常数，已知2※3＝﹣1，3※2＝8， 则m※n＝________． 2．对于实数a、b，定义关于“⊗”的一种运算：a⊗b=2a+b，例如3⊗4=2×3+4=10． （1）求4⊗（–3）的值；（2）若x⊗（–y）=2，（2y）⊗x=–1，求x+y的值． 3.【阅读感悟】有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x、y满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【解决问题】 （1）已知二元一次方程组，则________，________； （2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？ （3）对于实数x、y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么________． 4.幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则mn＝_____． 5.阅读理解：a,b,c,d是实数，我们把符号称为2×2阶行列式，并规定：，例如：，二元一次方程组的解可以利用2×2阶行列式表示为：，其中，，， 问题：对于用上面的方法解二元一次方程组 时，下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 方程组的解为 6.对于实数a，b，定义运算“◆”：a◆b=，例如4◆3，因为4＞3．所以4◆3==5．若x，y满足方程组，则x◆y= ． 7.阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 将方程②变形：4x+10y+y=5,即2(2x+5y)+y=5③,把方程①带入③得：2×3+y=5,∴y=-1，把y=-1代入①得x=4，∴方程组的解为。请你解决以下问题 （1）模仿小军的“整体代换”法解方程组； （2）已知x,y满足方程组,(ⅰ)求x2+4y2的值；(ⅱ)求的值; 8.算筹是中国古代用来记数、列式和进行各种数与式演算的一种工具，在算筹计数法中，以“立”、“卧”两种排列方式来表示单位数目，表示多位数时，个位用立式，十位用卧式，百位用立式，千位用卧式，以此类推.《九章算术》的“方程”一章中介绍了一种用“算筹图”解决一次方程组的方法。如图1，从左到右的符号中，前两个符号分别代表未知数x,y的系数，因此，根据此图可以列出方程：x+10y=26.请你根据图2列出方程组为______________. 9.对于有理数x,y，定义一种新的运算“*”:x*y=ax+by+c，其中a,b,c为常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知3*5=15，4*7=28，求1*1的值. 10.把1---9这九个数填入3×3方格中，使其任意一行，任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等，这样便构成一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛书”（图1），是世界上最早的“幻方”，则x-y=_____ 11.对于任意的有理数a,b,c,d，我们规定，根据这一规定，解答以下问题：若x,y同时满足,