2023年中考数学专题复习讲义—— 定义“新方法”题型之因式分解

一(5) 定义“新方法”题型之因式分解 ★ 因式分解 ★ 【范例详解】 例.先阅读材料，然后回答问题： 用分组分解法分解多项式mx+nx+my+ny=(mx+nx)+(my+ny).组内公因式分别为x,y，组间公因式为(m+n)，最后分解的结果为(m+n)(x+y). （1）材料中的多项式也可以这样分解：mx+nx+my+ny=_______+______，组内公因式分别为______，组间公因式为______，最后分解的结果为________； （2）上述两种分组的目的都是_______，分组分解的另一个目的是分组后能运用公因式法分解，请你设计一个关于字母的二次四项式的因式分解，要求用到分组分解法和完全平方公式。 【解析】（1）材料中的多项式也可以这样分解：mx+nx+my+ny=(mx+my)+(nx+ny)，组内公因式分别为m,n，组间公因式为(x+y)，最后分解的结果为(m+n)(x+y)； （2）上述两种分组的目的都是提取公因式 例： 【点评】要把多项分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式，再把它的后两项分成一组，并提出公因式，从而得到，这时，又有公式因，再提，最终多项式分解成，像这种分解因式的方法叫分组分解法，又叫二次分解法，适合于项数超过三项的多项式因式分解，且在分组之后，先第一次运用“提取公式法或公式法”进行分解，分解变形后，第二次运用“提取公式法或公式法”，即可把多项式分解彻底。 【巩固练习】 1.阅读例题，回答问题： 例题：已知二次三项式：x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为x+n，得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n． ∴∴∴另一个因式为x﹣7，m＝21．仿照以上方法解答下面的问题： 已知二次三项式2x2+3x+k有一个因式是2x﹣5，求另一个因式以及k的值． 2.阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式： x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）． 理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0， 因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解． 解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为 ． 3.阅读理解：①x2+3x+2=(x+1)(x+2),3=1+2,2=1×2;②x2+5x+6=(x+2)(x+3),5=2+3,6=2×3;③x2-3x+2=(x-1)(x-2),-3=-1+(-2),2=(-1)×(-2);④x2-5x+6=(x-2)(x-3),-5=-2+(-3),6=(-2)×(-3); 你能发现以上因式分解所用的方法吗？请你试一试：(1)x2+6x+5;(2) x2-6x+8 4.在日常生活中，如取款、上网等都需要密码，有一种用“分解因式”法产生的密码，方便记忆，原理：如对于多项x4-y4，分解因式的结果是(x-y)(x+y)(x2+y2),若取x=9,y=9，则各个因式的值是：x-y=0,x+y=18,x2+y2=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式4x3-xy2，取x=10,y=10,用上述方法产生的密码是_______（写一个即可） 5.观察下列因式分解的过程： x2+2ax-3a2 =x2+2ax+a2-4a2(先加上a,再减去a) =(x+a)2-4a2(运用完全平方公式) =(x+a+2a)(x+a-2a) =(x+3a)(x-a) 像上面这样通过加减项配出完全平方式，把二次三项式因式分解的方法，叫做配方法， 请你用配方法因式分解：x2-4xy+3y2. 6.设a,b是实数，定义关于“*”的一种运算如下：a*b=(a+b)2-(a-b)2，则下列结论：①a*b=0,则a=0或b=0;②不存在实数a,b，满足a*b=a2+4b2；③a*(b+c)=a*b+a*c；④a*b=8，则(10ab3)÷(5b2)=4.其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 7.先阅读下面的内容，再解决问题： 例题：若m2+2mn+2n2-6n+9=0,求m和n的值. 解：∵m2+2mn+2n2-6n+9=0,∴m2+2mn+n2+n2-6n+9=0,∴(m+n)2+(n-3)2=0，∴m+n=0,n-3=0,∴m=-3,n=3. (1)若x2+2y2-2xy+6y+9=0,求x的值； (