2023年中考数学专题复习讲义——　 定义“新方法”题型之整式

一(4) 定义“新方法”题型之整式 ★ 整式 ★ 【范例详解】 例.已知x＞0，现规定符号[x]表示大于或等于x的最小整数，如[0.5]＝1，[4.3]＝5，[6]＝6…… (1)填空：＝____，[8.05]＝____；若[x]＝5，则x的取值范围是 ． (2)某市的出租车收费标准如下：3km以内(包括3km)收费5元，超过3km的，每超过1km，加收1.2元(不足1km按1km计算)．用x表示所行的路程(单位：km)，y表示行x(km)应付的乘车费(单位：元)，则乘车费可按如下的公式计算：当0＜x≤3时，y＝5；当x＞3时，y＝5＋1.2([x]－3)．某乘客乘出租车后付费18.2元，求该乘客所乘路程的取值范围． 【解析】（1）接材料上提供的计算方法，就是表示若是整数，就是数本身，如果是一个小数，是指比这个数较大的最小的整数，计算即可； （2）直接把y=18.2代入解析式求x的范围． 解：(1)1；9；4＜x≤5； (2)因乘客付费18.2元＞5元，故乘客乘车路程超过3km，根据题意，可知5＋1.2([x]－3)＝18.2， ∴[x]－3＝11，∴[x]＝14，∴13＜x≤14.故该乘客所乘路程的取值范围为13km＜x≤14km. 【巩固练习】 1.发现两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．验证：如，为偶数，请把10的一半表示为两个正整数的平方和．探究：设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确． 2.用“⇒”与“⇐”表示一种法则：（a⇒b）=﹣b，（a⇐b）=﹣a，如（2⇒3）=﹣3， 则（2023⇒2022）⇐（2021⇒2020）=________. 3．如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数． ,示例：，即4+3=7． 则（1）用含x的式子表示m=__________；（2）当y=–2时，n的值为__________． 4.对于任意两个非零实数a,b，定义新运算“*”如下：a*b=,如3*4=，若x*y=2， 则 5.在实数范围内定义运算“☆”：a☆b，例如：2☆3．如果2☆x=1，则的值是（ ）． A. B. 1 C. 0 D. 2 6．定义：如果一个数的平方等于-1，记为i2=-1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减，乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．例如计算：(2-i)+(5+3i)=(2+5)+(-1+3)i=7+2i； (1+i)×(2-i)=1×2-i+2×i-i2=2+(-1+2)i+1=3+i； 根据以上信息，完成下列问题： （1）填空：i3= ，i4= ；（2）计算：(1+i)×(3-4i)；（3）计算：i+i2+i3+…+i2018． 7．【定义】配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形华为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法.例如：可将多项式x2+2x+3通过恒等变形化为x2+2x+3=x2+2x+1+2=(x+1)2+2的形式，这个变形过程中应用了配方法. (1)【理解】对于多项式x2-4x+5，当x＝ 时，它的最小值为 . (2)【应用】若a2+2ab+2b2+4b+4=0，求ba的值. (3)【拓展】a、b、c是△ABC的三边，且有a2+b2=4a+10b-29. ①若c为整数，求c的值.②若△ABC是等腰三角形，直接写出这个三角形的周长. 8.在一列数x1,x2,x3…中，已知x1=1，且当k≥2时，xK=xK-1+1-4([]-[ ])(符号[a]表示不超过实数a的最大整数)，如[2.6]=2,[0.2]=0,则x2022=( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9.《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2幕“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中． （1）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式，（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号） 公式①：; 公式②： 公式③：; 公式④：; 图1对应公式______，图2对应公式______，图3对应公式______，图4对应公式______； （2）《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式的方法，如图5，请写出证明过程；（已知图中各四边形均为矩形） （3）如图6，在等腰