2023年中考数学专题复习讲义——　 定义“新方法”题型之无理数

一(3) 定义新运算题型之无理数 ★无理数★ 【范例详解】 例.若[x]表示不超过x的最大整数（如[π]＝3，[﹣2]＝﹣3等），求[]+[]+…+ []的值． 【解析】先化简(分母有理化)，再取整，最后利用规律求和； 解：∵， ∴[]=[]=1,∵n是从2开始到2023结束，共有2022个， ∴[]+[]+…+ []＝1+1+…+1＝2022． 【巩固练习】 1．对于两个不相等的实数a、b，定义一种新的运算如下：a*b，如：3*2＝，那么7*（6*3） ＝ ． 2.在平面直角坐标系中，如果点P坐标为（m，n），向量可以用点P的坐标表示为＝（m，n）． 已知：＝（x1，y1），＝（x2，y2），如果x1•x2+y1•y2＝0，那么与互相垂直，下列四组向量： ①＝（2，1），＝（﹣1，2）； ②＝（，1），＝（1，）； ③＝（﹣，﹣2），＝（+，）； ④＝（π0，2），＝（2，﹣1）． 其中互相垂直的是 （填上所有正确答案的符号）． 3.对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}=1，因此，min{﹣，﹣}= ；若min{（x﹣1）2，x2}=1，则x= ． 4.“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，如，除此之外，我们也可用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如:对于，设，易知，故x>0，由，解得，即，根据以上方法，化简后的结果为（ ） A. B. C. D. 5．2021年5月7日，《科学》杂志发布了我国成功研制出可编程超导量子计算机“祖冲之”号的相关研究成果．祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家，他是第一个将圆周率π精确到小数点后第七位的人，他给出π的两个分数形式：（约率）和（密率）．同时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有＜x＜，其中a，b，c，d为正整数），则是x的更为精确的近似值．例如：已知＜π＜，则利用一次“调日法”后可得到π的一个更为精确的近似分数为：＝；由于≈3.1404＜π，再由＜π＜，可以再次使用“调日法”得到π的更为精确的近似分数…现已知＜＜，则使用两次“调日法”可得到的近似分数为 　　． 6.《数学九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为．现有周长为18的三角形的三边满足，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为______． 7.无理数是无限不循环小数，任何一个无理数都有整数部分和小数部分，如是一个无理数，其整数部分是1，所以可以用-1来表示它的小数部分.阅读以上材料，回答下列问题： (1)求+3的小数部分； (2)已知6-的小数部分是x，6+的小数部分是y，且(m+1)2=x+y，请求出满足条件的m的值. 8.我们把形如a(a,b为有理数，为最简二次根式)的数叫做型无理数，如3+1是型无理数，则是（ ） A. 型无理数 B. 型无理数 C. 型无理数 D. 型无理数 9.对于任意不相等的两个实数a,b，定义一种运算“*”，运算如下：a*b=,如2*3=， 那么-3*(-2)=_____. 10.两个含有二次根式的代数式相乘，若化简后的积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，如与、+1与-1，2+3与2-3等都是互为有理化因式，进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题： (1)化简：=___________;(2)比较与的大小关系； (3)计算：()() 11. 依据平方根和立方根的定义可给出四次方、五次方根的定义：①若x4=a(a≥0),那么x叫做a的四次方根；②若x5=a，那么x叫做a的五次方根。请依据以上定义，解决下列问题： (1)求81的四次方根；(2)求-32的五次方根；(3)求下列各式中的x值；①x4=625;②100000x5=243. 12.按如图所示的运算程序计算，若输入的数是6，则输出的结果是_______ 13.我们将与称为一对“对偶式”，因为()( )=( )2-()2=a-b，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将根号去掉。如，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化。根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题