2023年中考数学专题复习讲义——　定义新运算题型之数的概念

一(1) 定义新运算题型之数的概念 ☆数的新概念☆ 【方法梳理】 是指在题目中先构建一个新数学概念(或定义)，然后再根据新概念提出要解决的相关问题．主要目的是考查学生的自学能力和对新知识的理解与运用能力．解决这类问题：要求学生准确理解题目中所构建的新概念，将学习的新概念和已有的知识相结合，并进行运用 【范例详解】 例.【问题背景】如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，两个正整数为它的“智慧分解”。例如，因为16=52-32，所以16就是一个智慧数，而5和3则是16的智慧分解，那么究竟哪些数为智慧数？第2022个智慧数是否存在，又是哪个数？为此，小明和小颖展开了如下探究： 小颖的方法是通过计算，一个个罗列出来：3=22-12，5=32-22，7=42-32，9=52-42，…小明认为小颖的方法太麻烦，他想到：设两个数分别为k+1、k，其中k≥1，且k为正整数，则(k+1)2-k2=(k+1+k)(k+1-k)=2k+1。 【基本运用】(1)根据上述探究，可以得出：除1外，所有_________都是智慧数，最小的智慧数是________，11的智慧分解是_______和_________； 【类比探究】(2)继续探究，他们发现8=32-12，12=42-22，所以8和12均是智慧数，由此，他们猜想，4k(k≥2，且k为正整数)均为智慧数，请证明他们的猜想； 【拓展提升】(3)深入探究发现4的倍数余数为2即4k+2（k≥1,且k为正整数）都不是智慧数，根据以上探究，则第2022个智慧数是_________ 【解析】 (1)由小明的方法可知，2k+1是智慧数，即除1外，所有____奇数_____都是智慧数，最小的智慧数是____3____，当2k+1=11时k=5，则k+1=6，即11的智慧分解是___5____和___6___； (2)证明：当k≥2，且k为正整数时，(k+1)2-(k-1)2=(k+1+k-1)(k+1-k+1)=4k,当k=2时4k=8，∴除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数，∴4k(k≥2，且k为正整数)均为智慧数， (3)由(1)、(2)可知，除1外的所有奇数是智慧数，除4外的所有偶数是智慧数，由(3)的探究可知除以4余2的正整数也不是智慧数，根据以上结论找出智慧数的规律，即可解题。 解：所有的正整数，按除以4的余数分类，每四个数分成一组，除了第一组“1、2、3、4”只有一个智慧数“3”，其余每组中，除去除以4余2的不是智慧数，其余都是智慧数，即都有3个智慧数，2022-1=2021（个），这2021个智慧数被分在其余每组中，且每组有3个，2021÷3=673(组)……2(个)，所以第2022个智慧数应在第1+673+1=675（组）中的第2个智慧数，在第675组中的四个数中，第一个数是奇数，是智慧数，第二个数是除以4余2，不是智慧数，所以该组中第2个智慧数是第3个数。674×4=2696，则第675组中的数分别是2697、2698、2699、2670，∴第2022个智慧数是2699. 【巩固练习】 1.如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列数中为“幸福数”的是（ ） A. 205 B. 250 C. 502 D. 520 2. 如M={1,2,x}，我们叫集合M，其中1，2，x叫做集合M的元素．集合中的元素具有确定性（如x必然存在），互异性（如x≠1,x≠2），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合N={x,1,2}，我们说M=N．已知集合A={1,0,a}，集合B=，若A=B，则b-a的值是（ ） A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 3．若把第n个位置上的数记为xn，则称x1，x2，x3，…，xn有限个有序放置的数为一个数列A．定义数列A的 “伴生数列”B是：y1，y2，y3，…，yn，其中yn是这个数列中第n个位置上的数，n＝1，2，…，k且yn＝ ,并规定x0＝xn，xn+1＝x1．如果数列A只有四个数，且x1，x2，x3，x4依次为3，1，2，1，则其“伴生数列”B是 ___________． 4.在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数，现在我们利用整数的除法运算来研究一种数——“差一数”． 定义：对于一个自然数，如果这个数除以5余数为4，且除以3余数为2，则称这个数为“差一数”． 例如：，，所以14是“差一数”； ，但，所以19不是“差一数”． （1）判断49和74是否为“差一数”？请说明理由； （2）求大于300且小于400的所有“差一数”． 5.在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“好数”．