2.3.1&2.3.2圆的标准方程与圆的一般方程-【题型·技巧培优系列】2023-2024年高二数学同步精讲精练（人教B版2019选择性必修第一册）

2.3.1圆的标准方程2.3.2圆的一般方程 题型1由圆的标准方程确定圆心半径 2 题型2由圆心或半径求圆的标准方程 3 题型3求圆的一般方程 4 题型4一般方程确定参数取值范围 5 题型5判断点与圆的位置关系 6 题型6圆过定点问题 6 知识点一.圆的标准方程 1.圆的基本要素：圆心和半径 2.圆的标准方程 一般地，如果平面直角坐标系中C的圆心为C（a，b），半径为r（r>0），设M（x，y）为平面直角坐标系中任意一点，则点M在C上的充要条件是CM=r，即两边平方，得 +=，此式通常称为圆的标准方程． 知识点二．由圆的标准方程判断点与圆位置关系 圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，则 位置关系 判断方法 几何法 代数法 点在圆上 │MA│＝r⇔点M在圆A上 点M(x0，y0)在圆上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在圆内 │MA│<r⇔点M在圆A内 点M(x0，y0)在圆内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 点在圆外 │MA│>r⇔点M在圆A外 点M(x0，y0)在圆外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 知识点三．圆的一般方程 1.当D2＋E2－4F＞0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程，其圆心为，半径为 r＝ . 2. 当D2＋E2－4F=0时,方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点. 3.当D2＋E2－4F<0时,方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形. 知识点四．由圆的一般方程判断点与圆位置关系 已知M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0），其位置关系如下表： 位置关系 代数关系 点在圆上 x02＋y02＋Dx0＋Ey0＋F=0 点在圆内 x02＋y02＋Dx0＋Ey0＋F<0 点在圆外 x02＋y02＋Dx0＋Ey0＋F>0 判断二元二次方程Ax²＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆要" 两看"： 一看方程是否具备圆的一般方程的特征：①A=C≠0，②B=0； 二看它能否表示圆．此时判断D²＋E²- 4AF是否大于0，或直接配方变形，判断等号右边是否为大于零的常数. 题型1由圆的标准方程确定圆心半径 【方法总结】由圆的标准方程，可直接得到圆的圆心坐标和半径大小；反过来说，给出了圆的圆心和半径，即可直接写出圆的标准方程，这一点体现了圆的标准方程的直观性，为其优点. 【例题1】（2022秋·高二课时练习）已知圆的标准方程为，则此圆的圆心及半径长分别为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】1.（2022秋·高二课时练习）圆的圆心、半径是（　　） A．，4 B．，2 C．，4 D．，2 【变式1-1】2.（2023·江苏·高二假期作业）已知圆C的标准方程为，则圆心C的坐标为________，圆的面积为________． 题型2由圆心或半径求圆的标准方程 【方法总结】圆的标准方程的两种求法 （1）几何法：利用图形的平面几何性质，如"弦的中垂线必过圆心"，" 两条弦的中垂线的交点必为圆心"，以及中点坐标公式、两点间距离公式等，直接求出圆心坐标和半径，进而得到圆的标准方程. （2）待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组可得到圆的标准方程中三个参数，从而确定圆的标准方程．它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是： ①设————设所求圆的方程为（x- a）²+（y-b）²=r²； ②列——由已知条件，建立关于a，b，r的方程组；③解———解方程组，求出a，b，r； ④代————将a，b，r代入所设方程，得所求圆的方程. 常用的圆的几何性质： （1）弦的垂直平分线必过圆心. （2）圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心. （3）圆心与切点的连线长是半径长. （4）圆心与切点的连线必与切线垂直. 【例题2】（2023春·上海崇明·高二统考期末）已知两点、，则以PQ为直径的圆的方程是______. 【变式2-1】1.（河南省开封市2022-2023学年高二下学期期末数学试题）已知圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】2.（2022秋·高二课时练习）已知圆C的半径为，圆心在直线上，且过点，求圆C的标准方程. 【变式2-1】3.（河南省开封市2022-2023学年高二下学期期末数学试题）已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)求与直线平行且与圆相切的直线方程． 【变式2-1】4.（2023秋·高一单元测试）已知圆的圆心在轴上，并且过，两点. (1)求圆的方程； (2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹方程. 题型