第45讲 数列的综合运用-2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）

第45讲 数列的综合运用 1、数列与函数综合问题的主要类型及求解策略 (1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题． (2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前n项和公式、求和方法等对式子化简变形． 注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性． 数列在实际问题中的应用 2、现实生活中涉及银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、产品产量等问题，常常考虑用数列的知识去解决． 1．数列实际应用中的常见模型 (1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定的数，则该模型是等差模型，这个固定的数就是公差； (2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，则该模型是等比模型，这个固定的数就是公比； (3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，则应考虑是第n项an与第n＋1项an＋1的递推关系还是前n项和Sn与前n＋1项和Sn＋1之间的递推关系． 1、（2023•北京）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，，，则　 　，数列的所有项的和为 ． 2、（2023•新高考Ⅱ）已知为等差数列，，记，为，的前项和，，． （1）求的通项公式； （2）证明：当时，． 3、（2022•新高考Ⅰ）记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列． （1）求的通项公式； （2）证明：． 4、（2021•乙卷（文））设是首项为1的等比数列，数列满足，已知，，成等差数列． （1）求和的通项公式； （2）记和分别为和的前项和．证明：． 1、 甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第一分钟走2 m，以后每分钟比前1分 钟多走1 m，乙每分钟走5 m．甲、乙开始运动后，相遇的时间为________分钟． A. 3 B. 7 C. 11 D.14 2、（2023·黑龙江大庆·统考三模）定义，已知数列为等比数列，且，，则（    ） A．4 B．±4 C．8 D．±8 3、对于每一个正整数n，设曲线y＝xn＋1在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lgxn，则a1＋a2＋…＋a99＝________． 4、(2022·江苏南京市二十九中学高三10月月考)(多选题)南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，…，设各层球数构成一个数列，则（ ） A. B. C. D. 考向一　 数列在数学文化与实际问题中的应用 例1、（1）（2023·安徽黄山·统考三模）黄山市歙县三阳镇叶村历史民俗“叠罗汉”已被列入省级非物质文化遗产保护项目，至今已有500多年的历史，表演时由二人以上的人层层叠成各种样式，魅力四射，光彩夺目，好看又壮观.小明同学在研究数列时，发现其递推公式就可以利用“叠罗汉”的思想来处理，即 ，如果该数列的前两项分别为，其前项和记为，若，则（    ） A． B． C． D． （2）（2023·湖南邵阳·统考三模）“埃拉托塞尼筛法”是保证能够挑选全部素数的一种古老的方法.这种方法是依次写出2和2以上的自然数，留下第一个数2不动，剔除掉所有2的倍数；接着，在剩余的数中2后面的一个数3不动，剔除掉所有3的倍数；接下来，再在剩余的数中对3后面的一个数5作同样处理；……，依次进行同样的剔除.剔除到最后，剩下的便全是素数.在利用“埃拉托塞尼筛法”挑选2到20的全部素数过程中剔除的所有数的和为（    ） A．130 B．132 C．134 D．141 （3）（2023·吉林·统考三模）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第25项与第24项的差为（    ） A．22 B．24 C．25 D．26 变式1、（1）(2022·青岛期初考试)《算法统宗》是中国古代数学名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公最年幼的儿子的岁数为 A．8 B．11