2022～2023学年北京市九年级上学期期末数学分类汇编——新定义

2022~2023学年北京市九年级上期末数学分类汇编——新定义 一．反比例函数综合题（共2小题） 1．（2022秋•门头沟区期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点M（x1，y1），给出如下定义：当点N（x2，y2），满足x1•x2＝y1•y2时，称点N是点M的等积点．已知点M（1，2）． （1）在Q1（6，3），Q2（3，﹣1），Q3（﹣4，﹣2）中，点M的等积点是 　 　； （2）如果点M的等积点N在双曲线上，求点N的坐标； （3）已知点P（6，2），Q（2，a），⊙Q的半径为1，连接MP，点A在线段MP上．如果在⊙Q上存在点A的等积点，直接写出a的取值范围． 2．（2022秋•顺义区期末）在平面直角坐标系xOy中，图形M上存在一点P，将点P先向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到点Q，若点Q在图形N上，则称图形M与图形N成“斜关联”． （1）已知点A（﹣2，1），B（﹣2，2），C（﹣1，2），D（﹣1，1）． ①点A与B、C、D中的哪个点成“斜关联”？ ②若线段AB与双曲线y＝（k≠0）成“斜关联”，求k的取值范围； （2）已知⊙T的半径为1，圆心T的坐标为（t，0），直线l的表达式为y＝x+6，若⊙T与直线l成“斜关联”，请直接写出t的取值范围． 二．二次函数综合题（共1小题） 3．（2022秋•房山区期末）在平面直角坐标系xOy中，已知一条开口向上的抛物线，连接此抛物线上关于对称轴对称的两点A，B（A点在B点左侧），以AB为直径作⊙M．取线段AB下方的抛物线部分和线段AB上方的圆弧部分（含端点A，B），组成一个封闭图形，我们称这种图形为“抛物圆”，其中线段AB叫做“横径”，线段AB的垂直平分线被“抛物圆”截得的线段叫做“纵径”，规定“纵径”长度和“横径”长度的比值叫做此“抛物圆”的“扁度”． （1）已知抛物线y＝x2． ①若点A横坐标为﹣2，则得到的“抛物圆”的“横径”长为 　 　，“纵径”长为 　 　； ②若点A横坐标为t，用t表示此“抛物圆”的“纵径”长，并求出当它的“扁度”为2时t的值； （2）已知抛物线y＝x2﹣2ax+a2+a，若点A在直线y＝﹣4ax+a上，求“抛物圆”的“扁度”不超过3时a的取值范围． 三．圆的综合题（共11小题） 4．（2022秋•平谷区期末）如图，平面直角坐标系中，矩形ABCD，其中A（1，0）、B（4，0）、C（4，2）、D（1，2），定义如下：若点P关于直线l的对称点P'在矩形ABCD的边上，则称点P为矩形ABCD关于直线l的“关联点”， （1）已知点P1（﹣1，2）、点P2（﹣2，1）、点P3（﹣4，1），点P2（﹣3，﹣1）中是矩形ABCD关于y轴的关联点的是 　 　； （2）⊙O的圆心O（﹣，1）半径为，若⊙O上至少存在一个点是矩形ABCD关于直线x＝t的关联点，求t的取值范围； （3）⊙O的圆心O（m，1）（m＜0）半径为r，若存在t值使⊙O上恰好存在四个点是矩形ABCD关于直线x＝t的关联点，写出r的取值范围，并写出当r取最小值时t的取值范围（用含m的式子表示）． 5．（2022秋•通州区期末）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，如果PQ两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N的“近距离”，记为d（M，N）．特别地，当图形M与图形N有公共点时，d（M，N）＝0． 已知A（﹣4，0），B（0，4），C（﹣2，0）， （1）d（点A，点B）＝　 　，d（点A，线段BC）＝　 　； （2）⊙O半径为r， ①当r＝1时，⊙O与线段AB的“近距离”d（⊙O，线段AB）＝　 　； ②若d（⊙O，△ABC）＝1，求⊙O的半径r的长． 6．（2022秋•密云区期末）在平面直角坐标系xOy中，O、M、P三点不在同一条直线上，将线段OM平移得到线段PP1，（其中P，P1分别是O，M的对应点），延长PO至P2，使得OP2＝2OP，连接P1P2，交OM于点Q，称Q为点P关于线段OM的关联点． （1）如图，点M（1，2），P（2，0），点Q为点P关于线段OM的关联点． ①在图中画出点Q； ②求证：OQ＝2QM； （2）已知⊙O的半径为1，M是⊙O上一动点，O，M，P三点不在同一条直线上，OP＝3，点P关于线段OM的关联点为Q．求P2Q的取值范围． 7．（2022秋•东城区期末）在平面直角坐标系xOy中，我们给出如下定义：将图形M绕直线x＝3上某一点P顺时针旋转90°，再关于直线x＝3对称，得到图形N，我们称图形N为图形M关于点P的二次关联图形．已知点A（0，1）． （1）若点P的坐标是（3，0），直接写出点A关于点P的二次关联图形的坐标